Tích vô hướng của 2 vectơ (Định nghĩa – Tính chất

Tích vô hướng của 2 vectơ: Góc giữa hai vectơ, Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, Tính chất của tích vô hướng, Biểu thức tọa độ của tích vô hướng…
Tích vô hướng của 2 vectơ

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ vec a và vec b được mô tả như hình sau:
Tích vô hướng của 2 vectơ

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ vec a và vec b.

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói vec a vuông góc với vec b.

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ vec a và vec b là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là vec a.vec b và được xác định bởi công thức

vec a.vec b=|vec a|.|vec b|.cosleft ( vec a,vec b right )

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ vec a tùy ý, tích vô hướng vec a.vec a được kí hiệu là |vec a|^2 được gọi là bình phương vô hướng

Ta có: vec a^2=|vec a|.|vec a|.cos0^o=|vec a|^2

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

Tính chất của tích vô hướng

a) Định lí
Với ba vectơ vec a,vec b,vec c tùy ý và một số thực k, ta có:

vec a.vec b=vec b.vec a (tính chất giao hoán)

vec a.vec b=0Leftrightarrow vec aperp vec b

(kvec a).vec b=vec a.(kvec b)=k.(vec a.vec b)

vec a. (vec bpm vec c)=vec a.vec bpm vec a.vec c (tính chất phân phối tổng hiệu)

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Tích vô hướng của 2 vectơ

Ta dễ dàng chứng minh được MT^2=MA.MB thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có: MT^2=OM^2-OT^2

Theo ý trên: MA.MB=vec{MA}.vec{MB} (vì M, A, B thẳng hàng)

Vậy: vec{MA}.vec{MB}=OM^2-OT^2

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ vec{a}(x;y);vec{b}(x';y'). Khi đó:

Xem thêm :  6-7-8-9 tuổi cao bao nhiêu là chuẩn, nặng bao nhiêu là vừa ?

vec{a}.vec{b}=xx'+yy'
|vec{a}|=sqrt{x^2+y^2}
cos(vec{a};vec{b})=frac{xx'+yy'}{sqrt{x^2+y^2}.sqrt{x'^2+y'^2}},vec{a}neq vec{0};vec{b}neq vec{0}
vec{a}perp vec{b}Leftrightarrow xx'+yy'=0

Ví dụ cho tích vô hướng của 2 vectơ

Ví dụ 1:
Tính tích vô hướng của vec{a}(2;3) và vec{b}(1;1) biết chúng tạo với nhau một góc 30^o

Lời giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: vec{a}.vec{b}=|vec{a}|.|vec{b}|.cos30

=sqrt{2^2+3^2}.sqrt{1^2+1^2}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{78}}{2}

Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: vec{AD}.vec{AB}vec{AD}.vec{BD} và vec{AB}.vec{CD}

Lời giải:

Tích vô hướng của 2 vectơ

Vì ADperp AB nên vec{AD}.vec{AB}=0

vec{AD}.vec{BD}=|vec{AD}|.|vec{BD}|cosADB\=a.asqrt{2}.cos45=a^2

vec{AB}.vec{CD}=|vec{AB}|.|vec{CD}|.cos0^o=a^2

Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức A=frac{11tanalpha-5cotalpha}{34tanalpha+2cotalpha} biết sinalpha=frac{1}{4}

Lời giải:
Ta có: A=frac{11tanalpha-5cotalpha}{34tanalpha+2cotalpha}=frac{11frac{sinalpha}{cosalpha}-5frac{cosalpha}{sinalpha}}{34frac{sinalpha}{cosalpha}+2frac{cosalpha}{sinalpha}}=frac{11sin^2alpha-5cos^2alpha}{34sin^2alpha+2cos^2alpha}

=frac{16sin^2alpha-5}{36sin^2alpha+2}

=frac{16.(0,25)^2-5}{32.(0,25)^2+2}=-1

Ví dụ 4:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)

Lời giải:
Ta có:

B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)

=2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)\-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)

=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)\-3(1-2sin^2xcos^2x)

=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)

=-1

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *