Phương trình mặt phẳng oxyz, các dạng viết phương trình mặt phẳng và bài tập

Phương trình mặt phẳng oxyz: phương trình mặt phẳng trong không gian, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm, viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng…
Phương trình mặt phẳng oxyz

Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0

Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:

  • Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua
  • Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng oxyz

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:

Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: frac{A}{A'} neq frac{B}{B'} neq frac{C}{C'}

Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: frac{A}{A'} = frac{B}{B'} = frac{C}{C'} neq frac{D}{D'}

Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: frac{A}{A'} = frac{B}{B'} = frac{C}{C'} = frac{D}{D'}

Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: AA' + BB' + CC' = 0

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho điểm M(a, b, c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó khoảng cách từ điểm M tới (P) được xác định như sau:

d(A, (P)) = frac{left | Aa + Bb + Cc + D right |}{sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

Viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x_{0}; y_{0}; z_{0})

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến vec{n}(A, B, C)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0}) = 0

Phương trình mặt phẳng oxyz

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M (3;1;1) và có VTPT vec{n} = (1; -1; 2)

Xem thêm :  Ảnh hoàng hôn đẹp - Wiki ADS

Giải: Thay tọa độ điểm M và VTPP vec{n} ta có:

(P): (1)(x - 3) + (-1)(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2z - 4 = 0

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng (P) có 1 cặp vector chỉ phương là vec{AB} ; vec{AC}

Khi đó ta gọi vec{n} là một vector pháp tuyến của (P), thì vec{n} sẽ bằng tích có hướng của hai vector vec{AB}vec{AC}. Tức là vec{n} = left [ vec{AB};vec{AC} right ]

Phương trình mặt phẳng oxyz

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,3); B(-1,2,3); C(-1;1;2)

Giải:

Ta có: vec{AB} = (-2;1;0); vec{AC} = (-2,0,-1) \Rightarrow left [ vec{AB},vec{AC} right ] = (-1,-2,2)

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là vec{n} = left [ vec{AB},vec{AC} right ] = (-1,-2,2) và đi qua điểm A(1,1,3) nên có phương trình:

(-1)(x - 1) - 2(y - 1) + 2(z - 3) = 0\Leftrightarrow -x - 2y + 2z - 3 = 0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x_{0}; y_{0}; z_{0}) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m =0

Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ M và pt (P) ta tìm được M.

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là:

A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0

Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0

Giải: Vì (P) song song với (Q) nên VTPT của (P) cùng phương với VTPT của (Q).

Suy ra (P) có dạng: 2x – 3y + z + m = 0

Mà (P) đi qua M nên thay tọa độ M (1;-2;3) ta có:

2.1 + (-3).(-2) + 3 + m = 0 Leftrightarrow m = -11

Vậy phương trình (P): 2x – 3y + z – 11 = 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x_{0}; y_{0}; z_{0}) và đường thẳng d.

Xem thêm :  Kích thước ảnh bìa Facebook cho trang cá nhân, Fanpage, Group mới nhất

Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector vec{MA} và VTCP vec{u}, từ đó tìm được VTPT 2.1 vec{n} = left [ vec{MA};vec{u} right ].

Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3;1;0) và đường thẳng d có phương trình: frac{x - 3}{-2} = frac{y + 1}{1} = frac{z + 1}{1}

Giải: Lấy điểm A (3;-1;-1) thuộc đường thẳng d.

Suy ra vec{MA} (0; -2; -1) và VTCP vec{u} (-2; 1; 1)

Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: vec{n} = left [ vec{MA};vec{u} right ] = (-1; 2; 4)

Vậy phương trình mặt phẳng (P): -1(x - 3) + 2(y - 1) - 4z = 0\Leftrightarrow -x + 2y - 4z + 1 = 0

Bài tập phương trình mặt phẳng

Ví dụ 1: ( Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng )

Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với đường thẳng d:frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 1}}{{ - 1}}.

Lời giải:

Gọi overrightarrow {{n_{(P)}}} là VTPT của mặt phẳng (P).

overrightarrow {{u_d}} là VTCP của đường thẳng d.

Mặt phẳng (P) vuông góc với left( d right) Rightarrow overrightarrow {{u_{left( d right)}}} = overrightarrow {{n_{left( P right)}}} = left( {2;1; - 1} right) và đi qua điểm A(1;2;0).

Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là 2left( {x - 1} right) + y - 2 - z = 0 Leftrightarrow - 2x - y + z + 4 = 0.

Ví dụ 2: Cho 3 điểm A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

overrightarrow {AB} = (4, - 5,1)

overrightarrow {AC} = (3, - 6,4)

[overrightarrow {AB};overrightarrow {AC}]=(-14;-13;-9)

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1;6;2) nhận vectơ vec{n}=-[overrightarrow {AB};overrightarrow {AC}]=(14;13;9) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

14(x-1)+13(y-6)+9(z-2)=0 hay 14x+13y+9x-110=0
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *