Góc giữa 2 vecto trong không gian

Mục lục bài viết

  1. Định nghĩa góc giữa hai vecto
  2. Công thức tính góc giữa 2 vecto
    1. Tính góc giữa 2 vecto
    2. Công thức tính góc giữa 2 vecto trong oxyz
  3. Bài tập ví dụ tính góc giữa hai vecto

Góc giữa 2 vecto là gì? Cách xác định góc giữa 2 vecto, công thức tính góc giữa 2 vecto trong không gian OXYZ và các ví dụ về tính góc giữa 2 vectơ…

Định nghĩa góc giữa hai vecto

Cho hai vectơ vec a

 và vec b được mô tả như hình sau:
Tích vô hướng của 2 vectơ
Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ vec a và vec b.
Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói vec a vuông góc với vec b.

Công thức tính góc giữa 2 vecto

Tính góc giữa 2 vecto

Tìm góc dựa vào giá trị cosin của nó. Bạn có thể dùng chức năng arccos hoặc cos-1 trong máy tính bỏ túi để tìm góc từ giá trị cos(vec{a};vec{b}) đã biết. Với một số kết quả thu được, có thể bạn sẽ tìm được góc dựa trên vòng tròn đơn vị. Tính góc giữa 2 vecto ta dựa vào công thức tích vô hướng của 2 vectơ:
Cho hai vectơ vec{a}(x;y);vec{b}(x';y'). Khi đó:
vec a.vec b=|vec a|.|vec b|.cosleft ( vec a,vec b right )
cos(vec{a};vec{b})=frac{xx'+yy'}{sqrt{x^2+y^2}.sqrt{x'^2+y'^2}},vec{a}neq vec{0};vec{b}neq vec{0}

Công thức tính góc giữa 2 vecto trong oxyz

begin{matrix} (P)  A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\ (Q)  A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 end{matrix}

vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1) là 1 VTPT của (P)
vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2) là 1 VTPT của (Q)

cos(P,Q)=left | cos(vec{n}_P;vec{n}_Q) right | =frac{left | vec{n}_P.vec{n}_Q right |}{left | vec{n}_P right |left | vec{n}_Q right |}
=frac{left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 right |}{sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}

Chú ý:
0^0leq (widehat{P,Q})leq 90^0
(P)perp (Q)Leftrightarrow vec{n}_P.vec{n}_Q
Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0

Bài tập ví dụ tính góc giữa hai vecto

Ví dụ 1: Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
begin{matrix} (P): 2x+y+2z-3=0\ (Q):x+2y-2z+4=0 end{matrix}

Giải:
(P) có 1 VTPT vec{n}_P=(2;1;2)Rightarrow left | vec{n}_P right |=3
(Q) có 1 VTPT vec{n}_Q=(1;2;-2)Rightarrow left | vec{n}_Q right |=3
cos(P,Q)=left | cos(vec{n}_P;vec{n}_Q) right | =frac{left | vec{n}_P;vec{n}_Q right |}{left | vec{n}_Pright |.left | vec{n}_Q right |}\=frac{2+2-4}{3.3}=0
Vậy cos(P;Q) = 0

Ví dụ 2: Cho begin{matrix} (P): mx+y+2z+1=0\ (Q): x-2y-2z+3=0 end{matrix}
Tìm m để
begin{matrix} a)     (P)perp (Q)\ b)  (widehat{P;Q})=60^0 end{matrix}

Giải:
(P) có 1 VTPT vec{n}_P=(m;1;2)Rightarrow left |vec{n}_P right |=sqrt{m^2+5}
(Q) có 1 VTPT vec{n}_Q=(1;-2;-2)Rightarrow left |vec{n}_Q right |=3
a)
(P)perp (Q)Leftrightarrow vec{n}_P.vec{n}_Q=0
Leftrightarrow m-2-4=0
Leftrightarrow m=6
b)
(widehat{P;Q})=60^0Leftrightarrow cos(widehat{P;Q})=frac{1}{2}
Leftrightarrow frac{left | m-2-4 right |}{sqrt{m^2+5}.3}=frac{1}{2}
Leftrightarrow 2left | m-6 right |=3sqrt{m^2+5}
Leftrightarrow 4(m^2-12m+36)=9(m^2+5)
Leftrightarrow 5m^2+48m-99=0
Delta '=24^2+5.99=1071
Bigg lbrackbegin{matrix} m=frac{-24-sqrt{1071}}{5}\ \ m=frac{-24+sqrt{1071}}{5} end{matrix}

Xem thêm :  Bất đẳng thức bunhiacopxki và một số kỹ thuật sử dụng

Ví dụ 3: Viết phương trình (alpha ) chứa OZ và tạo với (P) x+2y-sqrt{5}z một góc 600

Giải
Gọi vec{n}=(a;b;c)    a^2+b^2+c^2neq 0
là 1 VTPT của (alpha )
Rightarrow vec{n}perp vec{k}=(0;0;1)
Rightarrow C=0
(widehat{(alpha );(P)})=60^0
Leftrightarrow cos(widehat{(alpha );(P)})=60^0=frac{1}{2}
Leftrightarrow frac{left | a+2b-csqrt{5} right |}{sqrt{a^2+b^2+c^2}.sqrt{1^2+2^2+(sqrt{5})^2 }}=frac{1}{2}
Leftrightarrow frac{left | a+2b right |}{sqrt{a^2+b^2}.sqrt{10}}=frac{1}{2}(do  C=0)
Leftrightarrow 2left | a+2b right |=sqrt{10}.sqrt{a^2+b^2}
Leftrightarrow 4(a^2+4b^2+4ab)=10(a^2+b^2)
Leftrightarrow 6a^2-16ab-6b^2=0
Leftrightarrow 3a^2-8ab-3b^2=0(1)
+ Nếu b = 0 thì a = 0 (vô lý)
+ Nếu bneq 0 thì chia 2 vế (1) cho b2 ta có
3.left ( frac{a}{b} right )^2-8.frac{a}{b}-3=0
Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} frac{a}{b}=frac{4-5}{3}=-frac{1}{3}\ \ frac{a}{b}=frac{4+5}{3}=3 end{matrix}

Trường hợp 1:

frac{a}{b}=-frac{1}{3}, ta chọn a = -1, b = 3
vec{n}=(-1;3;0)
(alpha ) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT vec{n}=(-1;3;0) nên có pt -x + 3y = 0

Trường hợp 2:

frac{a}{b}=3 chọn a=3,b=1
vec{n}=(3;1;0)
(alpha ) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT vec{n}=(3;1;0) nên có phương trình 3x + y = 0
Vậy -x + 3y = 0, 3x + y = 0

Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *