Công thức tích phân từng phần dễ hiểu và ví dụ

Mục lục bài viết

  1. Công thức tích phân từng phần
  2. Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần

Công thức tích phân từng phần: Công thức, ví dụ và cách tính tích phân từng phần…
Công thức tích phân từng phần

Công thức tích phân từng phần

Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có :
intlimits_a^b {udv = left. {left[ {uv} right]} right|_a^b - intlimits_a^b {vdu} }
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log_ax.
Ưu tiên 2 : Đặt u = ? mà có thể hạ bậc.

Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
a) {I_1} = intlimits_0^1 {x.{e^x}dx}
b) {I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{x^2}.cos xdx}
c) {I_3} = intlimits_1^e {ln xdx}

Lời giải:

a) Đặt: left{ begin{array}{l} u = x to du = dx\ dv = {e^x}dx to v = {e^x} end{array} right.quad
{I_1} = intlimits_0^1 {x.{e^x}dx} = left. {x.{e^x}} right|_0^1 - intlimits_0^1 {{e^x}} dx \= e - left. {{e^x}} right|_0^1 = e - left( {e - 1} right) = 1

b) Đặt: left{ begin{array}{l} u = {x^2} to du = 2xdx\ dv = cos xdx to v = sin x end{array} right.quad

Vậy: intlimits_0^1 {x.{e^x}dx} = left. { - x.cos x} right|_0^{frac{pi }{2}} - 2intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} \= {left( {frac{pi }{2}} right)^2} - 2intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} ,,,,left( 1 right)

Ta đi tính tích phân intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} quad

Đặt: left{ begin{array}{l} u = x to du = dx\ dv = sin xdx to v = - cos x end{array} right.quad
Vậy: intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} = left. { - x.cos x} right|_0^{frac{pi }{2}} + intlimits_0^{frac{pi }{2}} {cos xdx} \= left. { - x.cos x} right|_0^{frac{pi }{2}} + left. {sin } right|_0^{frac{pi }{2}} = 1
Thế vào (1) ta được: {I_1} = intlimits_0^1 {x.{e^x}dx} = frac{{{pi ^2} - 8}}{4}

c) Đặt:
left{ begin{array}{l} u = cos left( {ln x} right) to du = - frac{1}{x}sin left( {ln x} right)dx\ dv = dx to v = x end{array} right.quad

Vậy: {I_3} = intlimits_1^e {ln xdx} = left. {x.ln x} right|_1^e - intlimits_1^e {dx} = left. {x.ln x} right|_1^e - left. x right|_0^e = 1

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau
a) {I_1} = intlimits_0^pi {{e^x}.sin xdx}
b) {I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{x}{{{{cos }^2}x}}dx}
c) {I_3} = intlimits_1^{{e^pi }} {cos left( {ln x} right)dx}

Lời giải:

a) Đặt: left{ begin{array}{l} u = {e^x} to du = {e^x}dx\ dv = sin xdx to v = - cos x end{array} right.quad
Vậy: {I_1} = intlimits_0^pi {{e^x}.sin xdx} \= left. { - {e^x}.cos x} right|_0^pi + intlimits_0^pi {{e^x}.cos xdx \= {e^pi } + 1 + Jquad left( 1 right)}

Đặt: left{ begin{array}{l} u = {e^x} to du = {e^x}dx\ dv = cos xdx to v = sin x end{array} right.quad
Vậy: J = intlimits_0^pi {{e^x}.cos xdx} = left. {{e^x}.sin x} right|_0^pi - intlimits_0^pi {{e^x}.sin xdx} = - I
Thế vào (1) ta được: 2{I_1} = {e^pi } + 1 to {I_1} = frac{{{e^pi } + 1}}{2}

b) Đặt: left{ begin{array}{l}u = x to du = dx\dv = frac{1}{{{{cos }^2}x}}dx to v = tan xend{array} right.quad
Vậy: {I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{x}{{{{cos }^2}x}}dx} = left. {x.tan x} right|_0^{frac{pi }{4}} - intlimits_0^{frac{pi }{4}} {tan xdx \= } frac{pi }{4} + left. {ln left( {cos x} right)} right|_0^{frac{pi }{4}} = frac{pi }{4} + ln frac{{sqrt 2 }}{2}

c) Đặt: left{ begin{array}{l}u = cos left( {ln x} right) to du = - frac{1}{x}sin left( {ln x} right)dx\dv = dx to v = xend{array} right.quad

Vậy: {I_3} = intlimits_1^{{e^pi }} {cos left( {ln x} right)dx} \= left. {x.cos left( {ln x} right)} right|_1^{{e^pi }} + intlimits_1^{{e^pi }} {sin left( {ln x} right)dx} = - left( {{e^pi } + 1} right) + J

Đặt:
left{ begin{array}{l} u = sin left( {ln x} right) to du = frac{1}{x}cos left( {ln x} right)dx\ dv = dx to v = x end{array} right.quad

Vậy: {I_3} = intlimits_1^{{e^pi }} {sin left( {ln x} right)dx} = left. {x.sin left( {ln x} right)} right|_1^{{e^pi }} - intlimits_1^{{e^pi }} {cos left( {ln x} right)dx} \= 0 - {I_3}
Thế vào (1) ta được: 2{I_3} = - left( {{e^pi } + 1} right)quad Rightarrow quad {I_3} = - frac{{{e^pi } + 1}}{2}
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *