Công thức số phức và ví dụ áp dụng

Mục lục bài viết

  1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức
  2. Phép chia hai số phức
  3. Công thức số phức lượng giác
  4. Ví dụ áp dụng công thức số phức

Công thức số phức: Phép cộng trừ nhân chia số phức, công thức số phức lượng giác…
Công thức số phức

Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,,,{z_2} = c + di,(a,b,c,d in mathbb{R}), ta có:

z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i
z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Nhận xét

Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý i^2=-1.
Với mọi z,z'inmathbb{C}:
z + overline z = 2a (với z = a + bi)
=  + ‘
z.overline z = {left| z right|^2} = {left| {overline z } right|^2}
left| {z.z'} right| = left| z right|.left| {z'} right|
left| {z + z'} right| le left| z right| + left| {z'} right|

Phép chia hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,,,{z_2} = c + di,(a,b,c,d in mathbb{R}), ta có:

frac{{c + di}}{{a + bi}} = frac{{left( {c + di} right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i

(Nhân cả tử và mẫu với a - bi(số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý
Với số phức zne0 ta có:

Số phức nghịch đảo của z{z^{ - 1}} = frac{1}{{{{left| z right|}^2}}}overline z .
Thương của z' chia cho zfrac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = frac{{z'.overline z }}{{{{left| z right|}^2}}} = frac{{z'.overline z }}{{z.overline z }}.

Công thức số phức lượng giác

Để viết số phức z = a + bi,(a,b in R) dưới dạng lượng giác z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi ), trước hết ta biến đổi: z = sqrt {{a^2} + {b^2}} (frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).
Như vậy: r = sqrt {{a^2} + {b^2}}. Đặt c{rm{os}}varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.
Từ đó suy ra varphi1acgumen của z.

Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý

1 + c{rm{os}}varphi + isin varphi= 2{cos ^2}frac{varphi }{2} + 2isin frac{varphi }{2}c{rm{os}}frac{varphi }{2}= 2cos frac{varphi }{2}left[ {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + i sin frac{varphi }{2}} right].
1 + itan varphi = 1 + ifrac{{sin varphi }}{{c{rm{os}}varphi }}= frac{1}{{c{rm{os}}varphi }}(c{rm{os}}varphi + i sin varphi ).

Ví dụ áp dụng công thức số phức

Ví dụ 1:
Cho số phức frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i. Tìm các số phức sau overline zz^2{left( {overline z } right)^3}1+z+z^2.

Lời giải:
z = frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i Rightarrow overline z = frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i
{z^2} = {left( {frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i} right)^2} = frac{3}{4} + frac{1}{4}{i^2} - frac{{sqrt 3 }}{2}i = frac{1}{2} - frac{{sqrt 3 }}{2}i
Rightarrow {left( {overline z } right)^2} = {left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)^2} \= frac{3}{4} + frac{1}{4}{i^2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i

{left( {overline z } right)^3} = {left( {overline z } right)^2}.overline z = left( {frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i} right)left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right) \= frac{{sqrt 3 }}{4} + frac{1}{2}i + frac{3}{4}i - frac{{sqrt 3 }}{4} = i
1 + z + {z^2} = 1 + frac{{sqrt 3 }}{2} - frac{1}{2}i + frac{1}{2} - frac{{sqrt 3 }}{2}i \= frac{{3 + sqrt 3 }}{2} - frac{{1 + sqrt 3 }}{2}i

Ví dụ 2:
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết: overline z = {left( {sqrt 2 + i} right)^2}left( {1 - isqrt 2 } right).

Lời giải:
Ta có:

begin{array}{l} overline z = {left( {sqrt 2 + i} right)^2}left( {1 - isqrt 2 } right) \= left( {2 + {i^2} + 2isqrt 2 } right)left( {1 - isqrt 2 } right) = 5 + isqrt 2 \ Rightarrow z = 5 - isqrt 2 end{array}

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng -sqrt2.

Môđun: left| z right| = sqrt {{5^2} + {{left( { - sqrt 2 } right)}^2}} = 3sqrt 3 .

Ví dụ 3:
Tìm số phức z biết (2z - i)(1 + i) + (overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.

Lời giải:
Cho z=a+bi (a,binmathbb{R}) suy ra overline z = a - bi, từ giải thiết bài toán ta có:

(2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i

Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i

Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3a - 3b = 2\ a + b - 2 = - 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = frac{1}{3}\ b = frac{{ - 1}}{3} end{array} right.

Vậy z=frac{1}{3}-frac{1}{3}i.

Ví dụ 4:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa left| {z - 1 + i} right|=2.

Xem thêm :  Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian và cách viết

Lời giải:
Đặt z=x+yi (x,yinmathbb{R}) ta có: z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i

left| {z - 1 + i} right|=2 suy ra: sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Ví dụ 5:
Tìm số phức liên hợp của số phức: z = (1 + i)(3 - 2i) + frac{1}{{3 + i}}.

Lời giải:
Ta có: z = 5 + i + frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + frac{{3 - i}}{{10}}=frac{53}{10}+frac{9}{10}i

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: overline z = frac{{53}}{{10}} - frac{9}{{10}}i.

Ví dụ 6:
Tìm môđun của số phức z = frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}.

Lời giải:
Ta có:z = frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = frac{{left( {3 + i} right)left( {1 - 2i} right)}}{{left( {1 + 2i} right)left( {1 - 2i} right)}} = frac{{5 + i}}{5} = 1 + frac{1}{5}i.

Vậy môđun của số phức z là: left| z right| = sqrt {1 + {{left( {frac{1}{5}} right)}^2}} = frac{{sqrt {26} }}{5}.

Ví dụ 7:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: {left( {1 + i} right)^2}left( {2 - i} right)z = 8 + i + left( {1 + 2i} right)z.

Lời giải:
{left( {1 + i} right)^2}left( {2 - i} right)z = 8 + i + left( {1 + 2i} right)z

Leftrightarrow z = frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = frac{{left( {8 + i} right)left( {1 - 2i} right)}}{{left( {1 + 2i} right)left( {1 - 2i} right)}} = frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun left| z right| = sqrt {{2^2} + {{left( { - 3} right)}^2}} = sqrt {13} .

Ví dụ 8:
Tìm số phức z thỏa: frac{{(overline z - 1).(2 - i)}}{{overline z + 2i}} = frac{{3 + i}}{2}

Lời giải:
Điều kiện: overline z ne -2i hay zne 2i

Khi đó:  frac{{(overline z - 1).(2 - i)}}{{overline z + 2i}} = frac{{3 + i}}{2}Leftrightarrow 2(overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(overline z + 2i)

Leftrightarrow (overline z - 1)(4 - 2i) = 3overline z + 6i + iz + 2{i^2}

Leftrightarrow (1 - 3i)overline z = 2i + 4

Leftrightarrow overline z = frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = frac{{ - 1}}{5} + frac{7}{5}i

Rightarrow z = frac{{ - 1}}{5} - frac{7}{5}i.

Ví dụ 9:
Tính số phức sau: z={left( {frac{{1 + i}}{{1 - i}}} right)^{16}} + {left( {frac{{1 - i}}{{1 + i}}} right)^8}.

Lời giải:
Ta có:  frac{{1 + i}}{{1 - i}} = frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = frac{{2i}}{2} = iRightarrow frac{{1 - i}}{{1 + i}} = frac{1}{i} = - i.

Vậy: {left( {frac{{1 + i}}{{1 - i}}} right)^{16}} + {left( {frac{{1 - i}}{{1 + i}}} right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} \= {({i^2})^8} + {left( {{{left( { - i} right)}^2}} right)^4} = 1 + 1 = 2.

Ví dụ 10: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 5.
b. -3.
c. 7i.
d. -2i.

a. 5 = 5left( {1 + 0i} right) = 5left( {cos 0 + isin 0} right).
b. - 3 = 3left( { - 1 + 0i} right) = 3left( {{rm{cos}}pi {rm{ + sin}}pi {rm{i}}} right).
c. 7i = 7left( {0 + i} right) = 7left( {cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}} right).
d. - 2i = 2left( {0 - i} right)= 2left( {cos left( { - frac{pi }{2}} right) + isin left( { - frac{pi }{2}} right)} right).

Ví dụ 11: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 - isqrt 3.
b. sqrt 3 - isqrt 3 .
c. frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i.
d. frac{{7sqrt 3 }}{3} - 7i.

a. 1 - isqrt 3 = 2left( {frac{1}{2} - ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)= 2left[ {cos left( { - frac{pi }{3}} right) + isin left( { - frac{pi }{3}} right)} right].
b. sqrt 3 - isqrt 3 = sqrt 3 left( {1 - i} right)= sqrt 6 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{i}{{sqrt 2 }}} right)= sqrt 6 left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].
c. frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i = frac{2}{3}left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)= frac{2}{3}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).
d. frac{{7sqrt 3 }}{3} - 7i = frac{{7sqrt 3 }}{3}left( {1 - isqrt 3 } right)= frac{{14sqrt 3 }}{3}left( {frac{1}{2} - ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)= frac{{14sqrt 3 }}{3}left[ {cos left( { - frac{pi }{3}} right) + isin left( { - frac{pi }{3}} right)} right].

Ví dụ 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right).
b. left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 - 2} right)i} right].
c. left( {sqrt 2 - 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 - 4} right)i} right].

a. left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right)= 1 + 6{i^2} + 3i + 2i= - 5 + 5i = 5left( { - 1 + i} right)
= 5sqrt 2 left( { - frac{1}{{sqrt 2 }} + ifrac{1}{{sqrt 2 }}} right)= 5sqrt 2 left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right).
b. left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 - 2} right)i} right]= 1 - left( {sqrt 3 - 2} right) + left( {sqrt 3 - 2 + 1} right)i
= 3 - sqrt 3 + left( {sqrt 3 - 1} right)i= sqrt 3 left( {sqrt 3 - 1} right) + left( {sqrt 3 - 1} right)i
= left( {sqrt 3 - 1} right)left( {sqrt 3 + i} right)= 2left( {sqrt 3 - 1} right)left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)= 2left( {sqrt 3 - 2} right)left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).
c. left( {sqrt 2 - 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 - 4} right)i} right]= left( {2 + 6sqrt 2 - 8} right) + left( {6 - 4sqrt 2 - 2sqrt 2 } right)i
= left( {6sqrt 2 - 6} right) + left( {6 - 6sqrt 2 } right)i= left( {6sqrt 2 - 6} right)left( {1 - i} right)
= sqrt 2 left( {6sqrt 2 - 6} right)left( {frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)= left( {12 - 6sqrt 2 } right)left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].

Ví dụ 13: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. frac{1}{{2 + 2i}}.
b. frac{{3 - i}}{{1 - 2i}}.
c. frac{{1 - isqrt 3 }}{{1 + i}}.

a. Ta có:
frac{1}{{2 + 2i}} = frac{1}{{2left( {1 + i} right)}}= frac{{sqrt 2 }}{{4left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)}}= frac{{sqrt 2 }}{4}left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].
b. frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = frac{{left( {3 - i} right)left( {1 + 2i} right)}}{{left( {1 - 2i} right)left( {1 + 2i} right)}}= frac{{3 + 2 + 6i - i}}{{1 - {{left( {2i} right)}^2}}} = frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}}= 1 + i
= sqrt 2 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)= sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).
c. frac{{1 - isqrt 3 }}{{1 + i}}= frac{2}{{sqrt 2 }}left[ {cos left( { - frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right)} right]= sqrt 2 left[ {cos left( {frac{{ - 7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{ - 7pi }}{{12}}} right)} right].

Ví dụ 14: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 + frac{i}{{sqrt 3 }}.
b. 1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i.

a. Ta có:
1 + frac{i}{{sqrt 3 }} = 1 + itan frac{pi }{6}= 1 + ifrac{{sin frac{pi }{6}}}{{cos frac{pi }{6}}}= frac{1}{{cos frac{pi }{6}}}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)= frac{2}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).
b. 1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i= 1 + tan frac{pi }{3} + left( {1 - tan frac{pi }{3}} right)i= 1 + frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}} + left( {1 - frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}}} right)i
= frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)+ frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)i= frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)- frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {sin frac{pi }{3} - cos frac{pi }{3}} right)i
= frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 cos left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right)- frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 sin left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right).i
= 2sqrt 2 left( {cos frac{pi }{{12}} - isin frac{pi }{{12}}} right)= 2sqrt 2 left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].
Cách khác:
1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i= left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{1 - sqrt 3 }}{{1 + sqrt 3 }}i} right)= left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{tan frac{pi }{4} - tan frac{pi }{3}}}{{1 + tan frac{pi }{4}.tan frac{pi }{3}}}i} right)
= left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( {frac{pi }{4} - frac{pi }{3}} right)} right]= left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right]
= left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + ifrac{{sin left( { - frac{pi }{{12}}} right)}}{{cos left( { - frac{pi }{{12}}} right)}}} right]= frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].
cos frac{pi }{{12}} = cos left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right)= cos frac{pi }{3}.cos frac{pi }{4} + sin frac{pi }{3}.sin frac{pi }{4}= frac{1}{{2sqrt 2 }} + frac{{sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = frac{{1 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }}.
Do đó: 1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right).i= frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right]= 2sqrt 2 left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *