Công thức đạo hàm lượng giác đầy đủ và ví dụ áp dụng

Mục lục bài viết

  1. Công thức đạo hàm lượng giác
    1. Đạo hàm của hàm số y=sinx
    2. Đạo hàm của hàm số y=cosx
    3. Đạo hàm của hàm số y=tanx
    4. Đạo hàm của hàm số y=cotx
  2. Công thức đạo hàm lượng giác ngược
  3. Công thức đạo hàm lượng giác có mũ
  4. Đạo hàm của hàm hyperbolic
  5. Đạo hàm của hàm hyperbolic ngược
  6. Ví dụ công thức đạo hàm lượng giác
  7. Download bảng công thức đạo hàm đầy đủ pdf

Tổng hợp công thức đạo hàm lượng giác, công thức đạo hàm lượng giác ngược, công thức đạo hàm lượng giác có mũ…
Công thức đạo hàm lượng giác

Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm của hàm số y=sinx

Hàm số y=sin x có đạo hàm tại mọi x in mathbb{R} và left( {sin x} right)' = cos x.

Nếu y=sin u và u=u(x) thì (sin u)'=u'. cos u.

Đạo hàm của hàm số y=cosx

Hàm số y=cos x có đạo hàm tại mọi x in mathbb{R} và left( {cos x} right)' =-sin x.

Nếu y=cos u và u=u(x) thì (cos u)'=-u'. sin u.

Đạo hàm của hàm số y=tanx

Hàm số y=tan x có đạo hàm tại mọi x ne frac{pi }{2} + kpi ,k in mathbb{R} và left( {tan x} right)' = frac{1}{{{{cos }^2}x}}.

Nếu y=tan u và u=u(x) thì left( {tan u} right)' = frac{{u'}}{{{{cos }^2}u}}.

Đạo hàm của hàm số y=cotx

Hàm số y=cot x có đạo hàm tại mọi x ne kpi ,k in mathbb{R} và left( {cot x} right)' = - frac{1}{{{{sin }^2}x}}.

Nếu y=cot u và u=u(x) thì left( {cot x} right)' = - frac{{u'}}{{{{sin }^2}u}}.

Công thức đạo hàm lượng giác ngược

(Hàm lượng giác ngược có 2 cách viết, ví dụ hàm số lượng giác ngược của sin(x) có thể viết thành là sin^{-1}(x) hoặc arcsin(x), mình chọn cách viết thứ hai.)

Đạo hàm của arcsin: y = arcsin(x) Rightarrow y' = frac{1}{sqrt{1 - x^2}}

Đạo hàm của arccos: y = arccos(x) Rightarrow y' = -frac{1}{sqrt{1 - x^2}}

Đạo hàm của arctan: y = arctan(x) Rightarrow y' = frac{1}{1 + x^2}

Đạo hàm của text{arccot}: y = text{arccot}(x) Rightarrow y' = -frac{1}{1 + x^2}

Đạo hàm của text{arcsec}: y = text{arcsec}(x) Rightarrow y' = frac{1}{|x| sqrt{x^2 - 1}}

Đạo hàm của text{arccsc}: y = text{arccsc}(x) Rightarrow y' = -frac{1}{|x| sqrt{x^2 - 1}}

Công thức đạo hàm lượng giác có mũ

    [begin{array}{l} {(Sinax)^n} = {a^n}.Sin(ax + n.frac{Pi }{2})\ {(Cosax)^n} = {a^n}.Cos(ax + n.frac{Pi }{2}) end{array}]

Đạo hàm của hàm hyperbolic

Đạo hàm của sinh: y = sinh(x) Rightarrow y' = cosh(x)

Đạo hàm của cosh: y = cosh(x) Rightarrow y' = sinh(x)

Đạo hàm của tanh: y = tanh(x) Rightarrow y' = text{sech}^2(x) = 1 - tanh^2(x) \= frac{1}{cosh^2(x)}

Xem thêm :  Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng, cạnh, trục, tâm đối xứng

Đạo hàm của coth: y = coth(x) Rightarrow y' = -text{csch}^2(x) = 1 - coth^2(x) \= -frac{1}{sinh^2(x)}

Đạo hàm của text{sech}: y = text{sech}(x) Rightarrow y' = -tanh(x) text{ sech}(x)

Đạo hàm của text{csch}: y = text{csch}(x) Rightarrow y' = -coth(x) text{ csch}(x)

Đạo hàm của hàm hyperbolic ngược

Đạo hàm của text{arsinh}: y = text{arsinh}(x) Rightarrow y' = frac{1}{sqrt{x^2 + 1}}

Đạo hàm của text{arcosh}: y = text{arcosh}(x) Rightarrow y' = frac{1}{sqrt{x^2 - 1}}

Đạo hàm của text{artanh}: y = text{artanh}(x) Rightarrow y' = frac{1}{1 - x^2}

Đạo hàm của text{arcoth}: y = text{arcoth}(x) Rightarrow y' = frac{1}{1 - x^2}

Đạo hàm của text{arsech}: y = text{arsech}(x) Rightarrow y' = -frac{1}{x sqrt{1 - x^2}}

Đạo hàm của text{arcsch}: y = text{arcsch}(x) Rightarrow y' = -frac{1}{|x| sqrt{1 + x^2}}

Chú ý khi áp dụng công thức đạo hàm của các hàm lượng giác các bạn nên quan tâm luôn tới giá trị của x, ví dụ đạo hàm của arcsin(x) sẽ không xác định khi x = -1x = 1, do đó phải có điều kiện x neq -1x neq 1.

Ví dụ công thức đạo hàm lượng giác

Ví dụ 1:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin left( {frac{pi }{2} - x} right).

b) y = sin sqrt {x + 10} .

c) y = sin left( {frac{1}{{x - 2}}} right).

Lời giải:
a) y = sin left( {frac{pi }{2} - x} right)Rightarrow y' = left( {frac{pi }{2} - x} right)'.cos left( {frac{pi }{2} - x} right)= - cos left( {frac{pi }{2} - x} right).

b) y = sin sqrt {x + 10}Rightarrow y' = left( {sqrt {x + 10} } right)'.cos sqrt {x + 10}= frac{1}{{2sqrt {x + 10} }}.cos sqrt {x + 10} .

c) y = sin left( {frac{1}{{x - 2}}} right)Rightarrow y' = left( {frac{1}{{x - 2}}} right)'.cos left( {frac{1}{{x - 2}}} right)= frac{{ - 1}}{{{{left( {x - 2} right)}^2}}}.cos left( {frac{1}{{x - 2}}} right).

Ví dụ 2:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = cos left( {{x^3} - x} right).

b) y = cos sqrt {{x^2} - 8} .

c) y = cos left( {frac{x}{{x + 4}}} right).

Lời giải:
a) y = cos left( {{x^3} - x} right)Rightarrow y' = - left( {{x^3} - x} right)'.sin left( {{x^3} - x} right)= - left( {3{x^3} - 1} right).sin left( {{x^3} - x} right).

b) y = cos sqrt {{x^2} - 8}Rightarrow y' = - left( {sqrt {{x^2} - 8} } right)'.sin sqrt {x + 10}= frac{x}{{sqrt {{x^2} - 8} }}.sin sqrt {{x^2} - 8} .

c) y = cos left( {frac{x}{{x + 4}}} right)Rightarrow y' = left( {frac{x}{{x + 4}}} right)'.sin left( {frac{1}{{x - 2}}} right)= frac{4}{{{{left( {x + 4} right)}^2}}}.sin left( {frac{x}{{x + 4}}} right).

Ví dụ 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = tan left( {{x^5} - 5x} right).

b) y = tan sqrt {{x^4} + 1}.

Lời giải:
a) y = tan left( {{x^5} - 5x} right) Rightarrow y' = frac{{({x^5} - 5x)'}}{{{{cos }^2}left( {{x^5} - 5x} right)}} = frac{{5{x^4} - 5}}{{{{cos }^2}left( {{x^5} - 5x} right)}}.

b) y = tan sqrt {{x^4} + 1}Rightarrow y' = frac{{left( {sqrt {{x^4} + 1} } right)}}{{{{cos }^2}left( {sqrt {{x^4} + 1} } right)}} = frac{{2{x^3}}}{{sqrt {{x^4} + 1} .{{cos }^2}left( {sqrt {{x^4} + 1} } right)}}.

Ví dụ 4:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = cot left( {7{x^3} - 6x} right).

b) y = {cot ^4}left( {5x + 1} right).

Lời giải:
a) y = cot left( {7{x^3} - 6x} right) Rightarrow y' = frac{{(7{x^3} - 6x)'}}{{{{sin }^2}left( {7{x^3} - 6x} right)}} = - frac{{21{x^2} - 6}}{{{{sin }^2}left( {7{x^3} - 6x} right)}}.

b) y = {cot ^4}left( {5x + 1} right)Rightarrow y' = 4{cot ^3}left( {5x + 1} right).left[ {cot left( {5x + 1} right)} right]'

= 4{cot ^3}left( {5x + 1} right).left( {frac{{ - 5}}{{{{sin }^2}left( {5x + 1} right)}}} right)= frac{{ - 20{{cot }^3}left( {5x + 1} right)}}{{{{sin }^2}left( {5x + 1} right)}}.

Download bảng công thức đạo hàm đầy đủ pdf

Các bạn có thể tải bảng công thức đạo hàm đầy đủ pdf dưới đây để in ra tiện cho việc tra cứu và học tập.