Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Bài viết cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12. Muốn giải được những bài toán liên quan đến hàm số mũ, logarit chính xác nhất thì bước đầu tiên luôn luôn phải tìm đó là tìm tập xác định của hàm số mũ.

Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Phương pháp tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị x in R sao cho tồn tại f(x) in R.

Tìm tập xác định của hàm số mũ

Hàm số mũ y = {a^{varphi (x)}} xác định khi:
+ Nếu a > 0varphi (x) xác định.
+ Nếu a = 0 thì varphi (x) ne 0.
+ Nếu a < 0 thì varphi (x) in Z. Hàm số y = {(f(x))^{g(x)}} xác định leftrightarrow{f(x) > 0}

Tìm tập xác định của hàm số logarit

Hàm số logarit y = {log _a}varphi (x) xác định khi a > 0, a ne 1varphi (x) xác định, varphi (x) > 0.
Hàm số y = {log _a}f(x) xác định leftrightarrowleft{ {begin{array}{*{20}{c}} {f(x) > 0}\ {0 < g(x) ne 1} end{array}} right. Hàm số y = {(f(x))^{g(x)}} xác định leftrightarrowleft{ {begin{array}{*{20}{c}} {f(x) > 0}\ {0 < g(x) ne 1} end{array}} right.
Trong trường hợp có mẫu số thì phải có điều kiện mẫu số xác định và khác 0, nếu có biểu thức chứa ẩn số trong dấu căn bậc chẵn, biểu thức phải xác định và không âm.

Ví dụ tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y = sqrt {{{log }_2}(3x + 4)} .
Lời giải:
Hàm số xác định khi left{ {begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\ {{{log }_2}(3x + 4) ge 0} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\ {3x + 4 ge 1} end{array}} right.Leftrightarrow 3x + 3 ge 0Leftrightarrow x ge - 1.
Vậy tập xác định D = [ - 1, + infty ).

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số:
a) y = sqrt {16 - {x^2}} {log _2}left( {{x^2} - 5x + 6} right).
b) y = sqrt {{x^2} - 25} + log left( {42 + x - {x^2}} right).
Lời giải:
a) Hàm số xác định khi left{ {begin{array}{*{20}{l}} {16 - {x^2} ge 0}\ {{x^2} - 5x + 6 > 0} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} { - 4 le x le 4}\ {x < 2:{rm{hoặc}}:x > 3} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} { - 4 le x < 2}\ {3 < x le 4} end{array}} right. Vậy D = [ - 4,2) cup (3,4]. b) Tương tự, ta có: left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 25 ge 0}\ {42 + x - {x^2} > 0} end{array}} right.
Vậy D = ( - 6, - 5| cup [5,7).

Ví dụ 3: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y = sqrt {{{log }_2}left( {7 - 2x - {x^2}} right)} .
Lời giải:
Hàm số xác định khi: left{ {begin{array}{*{20}{l}} {7 - 2x - {x^2} > 0}\ {{{log }_2}left( {7 - 2x - {x^2}} right) ge 0} end{array}} right.Leftrightarrow 7 - 2x - {x^2} ge 1{x^2} + 2x - 6 le 0Leftrightarrow - 1 - sqrt 7 le x le - 1 + sqrt 7 .
Vậy tập xác định là D = left[ { - 1 - sqrt 7 , - 1 + sqrt 7 } right].
Ta có forall x in D: {log _2}left( {7 - 2x - {x^2}} right) ge 0Rightarrow y ge 0.
Vậy tập giá trị của hàm số là [0, + infty ).

Xem thêm :  Công thức tính điện trở, điện trở suất và bài tập áp dụng

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y = sqrt {{{log }_{frac{1}{3}}}(x - 3) - 1} .
b) y = sqrt {{{log }_{frac{1}{2}}}frac{{x - 1}}{{x + 5}}} .
c) y = sqrt {{{log }_{frac{1}{5}}}left( {{{log }_5}frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}}} right)} .
Lời giải:
a) Hàm số xác định khi left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x - 3 > 0}\ {{{log }_{frac{1}{3}}}(x - 3) - 1 ge 0} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x > 3}\ {x - 3 le frac{1}{3} Leftrightarrow 3 < x le frac{{10}}{3}} end{array}} right. Vậy D = left( {3,frac{{10}}{3}} right]. b) Lập điều kiện: left{ {begin{array}{*{20}{l}} {frac{{x - 1}}{{x + 5}} > 0}\ {{{log }_{frac{1}{2}}}frac{{x - 1}}{{x + 5}} ge 0} end{array}} right.
Giải hệ ta có x > 1.
Vậy D = (1, + infty ).
c) Hàm số xác định khi left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{log }_{frac{1}{5}}}left( {{{log }_5}frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}}} right) ge 0}\ {{{log }_5}frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} > 0}\ {frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} > 0} end{array}} right.Leftrightarrow 1 < frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} le 5Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {frac{{{x^2} - 5x - 14}}{{x + 3}} le 0}\ {frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 3}} > 0} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x < - 3:{rm{ hoặc}}: - 2 le x le 7}\ { - 3 < x < - 1:{rm{ hoặc }}:x > 2} end{array}} right.Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} { - 2 le x < - 1}\ {2 < x le 7} end{array}} right. Vậy tập xác định là D = [ - 2, - 1) cup (2,7]. Ví dụ 5: Tìm tập xác định của các hàm số: a) y = {log _2}sqrt {frac{{x - 3}}{{x + 1}}} . b) y = sqrt {{{log }_{frac{1}{2}}}frac{{x - 1}}{{x + 5}}} - {log _2}sqrt {{x^2} - x - 6} . c) y = {log _3}frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}. Lời giải: a) Lập điều kiện left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x ne - 1}\ {frac{{x - 3}}{{x + 1}} > 0} end{array}} right.
Suy ra D = ( - infty , - 1) cup (3, + infty ).
b) left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{log }_{frac{1}{2}}}frac{{x - 1}}{{x + 5}} ge 0}\ {{x^2} - x - 6 > 0} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {0 < frac{{x - 1}}{{x + 5}} le 1}\ {x < - 2: {rm{hoặc}}:x > 3} end{array}} right.
Suy ra D = (3, + infty ).
c) frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} > 0.
Suy ra D = ( - 3, - 1) cup (2, + infty ).

Ví dụ 5: Tìm tập xác định của hàm số: y = log left( { - {x^2} + 3x + 4} right)+ frac{1}{{sqrt {{x^2} - x - 6} }}.
Lời giải:
Hàm số xác định khi: left{ {begin{array}{*{20}{l}} { - {x^2} + 3x + 4 > 0}\ {{x^2} - x - 6 > 0} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} { - 1 < x < 4}\ {x < - 2:{rm{hoặc}}:x > 3} end{array}} right.Leftrightarrow 3 < x < 4. Tập xác định của hàm số là D = (3;4). Ví dụ 7: Tìm miền xác định của hàm số: y = sqrt {{{log }_3}left( {sqrt {{x^2} - 3x + 2} + 4 - x} right)} . Lời giải: Hàm số xác định khi: left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 3x + 2 ge 0}\ {sqrt {{x^2} - 3x + 2} + 4 - x ge 1} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x le 1:{rm{hoặc}}:x ge 2}\ {sqrt {{x^2} - 3x + 2} ge x - 3} end{array}} right. Giải {sqrt {{x^2} - 3x + 2} ge x - 3}, ta có: left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 3x + 2 ge 0}\ {x le 3} end{array}} right.Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} {x le 1}\ {2 le x le 3} end{array}} right. hoặc left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x ge 3}\ {{x^2} - 3x + 2 ge {{(x - 3)}^2}} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x ge 3}\ {3x ge 7} end{array}} right.Leftrightarrow x ge 3. Suy ra left[ {begin{array}{*{20}{l}} {x le 1}\ {x ge 2} end{array}} right. Vậy D = ( - infty ,1] cup [2, + infty ). Ví dụ 8: Tìm tập xác định của hàm số: y = {2^{sqrt {left| {x - 3} right| - |8 - x|} }}+ sqrt {frac{{ - {{log }_{0,3}}(x - 1)}}{{sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}} . Lời giải: Hàm số xác định khi: left{ {begin{array}{*{20}{l}} {|x - 3| - |8 - x| ge 0}\ {x - 1 > 0}\ {{{log }_{0,3}}(x - 1) le 0}\ {{x^2} - 2x - 8 > 0} end{array}} right.Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{(x - 3)}^2} ge {{(8 - x)}^2}}\ {x > 1}\ {x - 1 ge 1}\ {x < - 2:{rm{hoặc}}:x > 4} end{array}} right.Leftrightarrow x ge frac{{11}}{2}.
Vậy D = left[ {frac{{11}}{2}, + infty } right).

Ví dụ 6: Tìm tập xác định của hàm số: y = sqrt {{{log }_3}left( {frac{{1 + log _a^2x}}{{1 + {{log }_a}x}}} right)} .
Lời giải:
Hàm số xác định khi:
{log _3}left( {frac{{1 + log _a^2x}}{{1 + {{log }_a}x}}} right) ge 0Leftrightarrow frac{{1 + log _a^2x}}{{1 + {{log }_a}x}} ge 1Leftrightarrow frac{{log _a^2x - {{log }_a}x}}{{1 + {{log }_a}x}} ge 0Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{log }_a}x ge 1}\ { - 1 < {{log }_a}x le 0} end{array}} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} x ge a\ frac{1}{a} < x le 1 end{array} right.:{rm{nếu}}:a > 1\ left{ begin{array}{l} 0 < x le a\ 1 le x < frac{1}{a} end{array} right.:{rm{nếu}}:0 < a < 1 end{array} right. Vậy: + Với a>1: D = left( {frac{1}{a},1} right] cup [a, + infty ).
+ Với 0<a<1: D = left( {0,{rm{ }}a} right] cup left[ {1,frac{1}{a}} right). Ví dụ 10: Tìm các giá trị của m để hàm số y = frac{1}{{sqrt {{{log }_3}left( {{x^2} - 2x + 3m} right)} }} xác định forall x in R. Lời giải: Hàm số xác định forall x in R khi {log _3}left( {{x^2} - 2x + 3m} right) > 0Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m > 1Leftrightarrow quad {x^2} - 2x + 3m - 1 > 0forall x in R.
a = 1 > 0 nên Delta ' < 0Leftrightarrow 1 - (3m - 1) < 0Leftrightarrow m > frac{2}{3}.
Với m > frac{2}{3}, hàm số đã cho xác định forall x in R.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = frac{{sqrt {mx - m + 1} }}{{log left[ {(m - 1)x - m + 3} right]}}.
a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 2.
b) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số xác định forall x ge 1.
Lời giải:
a) Với m = 2 ta có y = frac{{sqrt {2x - 1} }}{{log (x + 1)}} xác định khi left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x ge frac{1}{2}}\ {x + 1 > 0}\ {x + 1 ne 1} end{array}} right.Leftrightarrow x ge frac{1}{2}.
Vậy D = left[ {frac{1}{2}, + infty } right).
b) Hàm số xác định với mọi x ge 1 khi và chỉ khi left{ {begin{array}{*{20}{l}} { mx - m + 1 ge 0:(1)}\ {(m - 1)x - m + 3 > 0:(2)}\ {(m - 1)x - m + 3 ne 1:(3)} end{array}} right.forall x ge 1.
Giải bất phương trình, ta có:
(1) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} {left{ {begin{array}{*{20}{l}} {m = 0}\ {x in R} end{array}} right.}\ {m > 0}\ {x ge frac{{m - 1}}{m} = 1 - frac{1}{m}} end{array}} right.
(1) có tập nghiệm là:
+ Nếu m = 0 thì {s_1} = R.
+ Nếu m > 0 thì {s_1} = left[ {frac{{m - 1}}{m}, + infty } right).
Nếu m = 1 thì (2)(3) đều thỏa mãn điều kiện.
Nếu m < 1 thì (2) không thỏa forall x ge 1. Nếu m > 1 thì (2) Leftrightarrow x > frac{{m - 3}}{{m - 1}}.
frac{{m - 3}}{{m - 1}} < 1, forall m > 1 nên (2) thỏa forall x ge 1.
Với m > 1 thì (3) Leftrightarrow x ne frac{{m - 2}}{{m - 1}} thỏa forall x ge 1.
Đáp số: m ge 1.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

Xem thêm :  Ăn quả hồng có bị béo không ? Có tốt cho bà bầu không ?


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *