Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian và cách viết

Bài viết phương trình đường thẳng trong không gian bao gồm: các dạng phương trình đường thẳng trong không gian, cách viết phương trình đường thẳng trong không gian, ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian…

Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Bao gồm 2 dạng là phương trình chính tắc và phương trình tham số.

Đường thẳng d đi qua điểm M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})

và có vec tơ chỉ phương vec{u}=(a,b,c) có:

Phương trình tham số

left{begin{matrix} x = x_{0} + at & \ y = y_{0} + bt & \ z = z_{0} + ct & end{matrix}right.

Với tin R

Phương trình chính tắc

frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}

Với abcneq 0

Phương trình tổng quát đường thẳng trong không gian

Để viết được phương trình đường thẳng d ta quy d thành giao tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Với

(P): A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0

(Q): A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0

Thì phương trình tổng quát của d là:

left{begin{matrix} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 & \ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 & end{matrix}right.

Khi đó vector chỉ phương của d là vec{u_{d}} = left [ vec{n_{P}},vec{n_{Q}}right ]

Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng Ox trong không gian

Đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng Oyz nên nhận véc tơ (1,0,0) của trục Ox làm vector chỉ phương. Mặt khác Ox lại đi qua điểm O (0,0,0) nên phương trình đường thẳng Ox là: left{begin{matrix} x = t & \ y = 0 & \ z = 0 & end{matrix}right.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng d đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{u}=(a;b;c) và đường thẳng d' đi qua M'_0(x'_0;y'_0;z'_0) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{u'}=(a';b';c') . Khi đó:
+ dd' cùng nằm trong một mặt phẳng Leftrightarrow left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right].overrightarrow{M_0M'_0}=0 .
+ dd' cắt nhau Leftrightarrowbegin{cases}left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right].overrightarrow{M_0M'_0}=0\ left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right] neoverrightarrow{0} end{cases}.
+ d parallel d' Leftrightarrowbegin{cases}left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right]=overrightarrow{0}\ left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{M_0M'_0}} right] neoverrightarrow{0} end{cases}.
+ d equiv d' Leftrightarrow left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right]=left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{M_0M'_0}} right]=overrightarrow{0}
+ dd' chéo nhau Leftrightarrowleft[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right]overrightarrow{M_0M'_0}=overrightarrow{0}

Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng d đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{u}=(a;b;c) và mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến overrightarrow{n}=(A;B;C) . Khi đó:
+ d cắt (P)Leftrightarrow Aa+Bb+Cc ne 0
+ d parallel (P)Leftrightarrow begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \ Ax_0+by_0+Cz_0+D ne 0 end{cases}
+ d subset (P)Leftrightarrow begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \ Ax_0+by_0+Cz_0+D = 0 end{cases}
+ d perp (P) Leftrightarrow overrightarrow{u} parallel overrightarrow{n} Leftrightarrow left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{n}} right]=overrightarrow{0}

Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương overrightarrow{u}=(a;b;c) và đường thẳng d' có vectơ chỉ phương overrightarrow{u'}=(a';b';c'). Gọi 0^circ lephi le 90^circ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
cos phi = frac{left| {overrightarrow{u}.overrightarrow{u'}} right|}{|overrightarrow{u}|.|overrightarrow{u'}|}=frac{|aa'+bb'+cc'|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}.sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}

Xem thêm :  Hoa mai Vector - Hoa mai PNG, PSD, AI tải về miễn phí (2021) ⭐️ Wiki ADS ⭐️

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương overrightarrow{u}=(a;b;c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến overrightarrow{n}=(A;B;C) . Gọi 0^circ le psi le 90^circ là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có:
sin psi = frac{left| {overrightarrow{u}.overrightarrow{n}} right|}{|overrightarrow{u}|.|overrightarrow{n}|}=frac{|Aa+Bb+Cc|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}.sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Khoảng cách từ điểm M_1(x_1;y_1;z_1) đến đường thẳng Delta có vectơ chỉ phương overrightarrow{u}

+ Cách 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M_1 và vuông góc với Delta.
– Tìm tọa độ giao điểm H của Delta và mặt phẳng (Q) .
– d(M_1, Delta)=M_1H .
+ Cách 2: Sử dụng công thức: d(M_1, Delta)=frac{left| {left[ {overrightarrow{M_1M_0},overrightarrow{u}} right]} right|}{|overrightarrow{u}|}

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau Delta đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{u} và đường thẳng Delta' đi qua M'_0(x'_0;y'_0;z'_0) và có vectơ chỉ phương overrightarrow{u'} .
+ Cách 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Delta và song song với Delta'.
– Tính khoảng cách từ M'_0 tới mặt phẳng (Q) .
– d(Delta,Delta')=d(M'_0,(Q)) .
+ Cách 2: Sử dụng công thức: d(Delta,Delta')=frac{left| {left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right].overrightarrow{M_0M'_0}} right|}{left| {left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u'}} right]} right|} .

Ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm Aleft( {1;2; - 3} right) và song song với giá của vectơ overrightarrow u = left( { - 1;3;5} right).

Giải

Vì d song song với giá của vectơ overrightarrow u nên d nhận overrightarrow u làm vectơ chỉ phương.

d đi qua điểm Aleft( {1;2; - 3} right) và có vectơ chỉ phương là overrightarrow u = left( { - 1;3;5} right) nên có phương trình tham số:

left{ begin{array}{l}x = 1 - t\y = 2 + 3t\z = - 3 + 5tend{array} right.,,,left( {t in R} right)

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm Mleft( {1;4; 0} right), Nleft( {-2;4; 5} right).

Giải

overrightarrow MN = left( { - 3;0;5} right)

Vì d đi qua hai điểm M và N nên vectơ overrightarrow {MN} có giá trùng với d Rightarrow overrightarrow {MN} là vectơ chỉ phương của d.

d đi qua điểm Mleft( {1;4; 0} right) và có vectơ chỉ phương là overrightarrow MN = left( { - 3;0;5} right) nên có phương trình tham số:

left{ begin{array}{l}x = 1 - 3t\y = 4\z = 5tend{array} right.,,,left( {t in R} right)

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d có phương trình: frac{{x - 2}}{3} = frac{y}{{ - 1}} = frac{{z + 1}}{2}. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM vuông góc với d (với O là góc tọa độ).

Xem thêm :  Biển Số Xe Bến Tre

Giải

Từ phương trình tham số của d, ta thấy d đi qua điểm Mleft( {2;0; - 1} right) và có VTCP là overrightarrow u = left( {3; - 1;2} right) nên có phương trình tham số là:

left{ begin{array}{l}x = 2 + 3t\y = -t\z = -1+2tend{array} right.,,,left( {t in R} right)

M in d Rightarrow Mleft( {2 + 3t; - t; - 1 + 2t} right).

Rightarrow overrightarrow {OM} = left( {2 + 3t; - t; - 1 + 2t} right)

OM bot d Rightarrow overrightarrow {OM} bot overrightarrow u Rightarrow overrightarrow {OM} .overrightarrow u = 0

Leftrightarrow 3left( {2 + 3t} right) + t + 2left( { - 1 + 2t} right) = 0Leftrightarrow 14t + 4 = 0 Leftrightarrow t = frac{-2}{7}

Vậy Mleft( {frac{8}{7};frac{2}{7}; - frac{{11}}{7}} right)

Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
d :frac{x+1}{2}=frac{y-1}{1}=frac{z-2}{3} và mặt phẳng P : x - y - z -1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng Delta đi qua A(1;1;-2) , song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d .
Lời giải :
Để tìm một VTCP của Delta ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.
Như vậy, overrightarrow{u_{Delta}}=left[ {overrightarrow{u_{d}};overrightarrow{n_{P}}}right]=(2;5;-3)
Trong đó overrightarrow{u_{d}}=(2;1;3);overrightarrow{n_{P}}=(1;-1;-1)
Delta đi qua A(1;1;-2) và có VTCP overrightarrow{u_{Delta}}=(2;5;-3) nên có phương trình
Delta : frac{x-1}{2}=frac{y-1}{5}=frac{z+2}{-3}
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
Delta :frac{x-1}{2}=frac{y+1}{1}=frac{z}{-1} và mặt phẳng P : x - y - z -1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2;1;0) , cắt và vuông góc với Delta.
Lời giải :
overrightarrow{u_{Delta}}=(2;1; -1) . Gọi H = d cap Delta.
Do H in Delta nên có thể giả sử H(1+ 2t;-1+ t;-t) \Rightarrow overrightarrow{MH} = (2t -1;t - 2;-t).
overrightarrow{MH} perp overrightarrow{u_{Delta}} Leftrightarrow 2(2t -1) + ( t- 2) - (-t ) = 0 \Leftrightarrow t=frac{2}{3} Leftrightarrow overrightarrow{u_{d}} = 3overrightarrow{MH} = (1;-4;-2)
Rightarrow d : begin{cases}x=2+t \ y= 1-4t\z=-2tend{cases}

Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
d : frac{x+1}{3}=frac{y-2}{-2}=frac{z-2}{2}
và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng Delta song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).
Lời giải :
Đường thẳng (d) có PT tham số : begin{cases}x=-1+3t \ y=2-2t\z=2+2t end{cases}.
Mặt phẳng (P) có VTPT overrightarrow{n} = (1; 3; 2)
Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) in d \Rightarrow overrightarrow{MN}= (3t - 3;-2t;2t - 2)
Để MN parallel (P) thì overrightarrow{MN}.overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow 1.(-1+3t)+3.(2-2t)+2.(2+2t)=0\Leftrightarrow t = 7 Rightarrow overrightarrow{MN}= (18;-14;12)
Do Delta parallel MN nên chọn overrightarrow{u_{Delta}}= (9;-7;6)
Phương trình đường thẳng Delta : frac{x-2}{9}=frac{y-2}{-7}=frac{z-4}{6}

Dạng III: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-4;-5;3) và cắt cả hai đường thẳng: d_1 : begin{cases}2x+3y+11=0 \ y-2z+7=0 end{cases}d_2 : frac{x-2}{2}=frac{y+1}{3}=frac{z-1}{-5}
Lời giải :
Viết lại phương trình các đường thẳng: d_1: begin{cases}x=5-3t_1 \ y=-7+2t_1 \z=t_1end{cases} (t_1 in mathbb{R}) , \d_2: begin{cases}x=2+2t_2 \ y=-1+3t_2 \z=1-5t_2end{cases} (t_2 in mathbb{R})
Gọi A = d cap d_1,B = d cap d_2 \Rightarrow A(5 - 3t_1;-7 + 2t_1;t_1) , \B(2 + 2t_2;-1+ 3t_2;1- 5t_2).
overrightarrow{MA} = (-3t_1 + 9;2t_1 - 2;t_1 - 3), \overrightarrow{MB} = (2t_2 + 6;3t_2 + 4;-5t_2 - 2)
left[ {overrightarrow{MA},overrightarrow{MB}} right] = (-13t_1t_2 - 8t_1 +13t_2 +16;\-13t_1t_2 + 39t_2;-13t_1t_2 - 24t_1 + 31t_2 + 48)
M, A, B thẳng hàng Leftrightarrow overrightarrow{MA},overrightarrow{MB} cùng phương Leftrightarrow left[ {overrightarrow{MA},overrightarrow{MB}} right] =overrightarrow{0}
Rightarrow A(-1;-3;2),B(2;-1;1) \Rightarrow overrightarrow{AB} = (3;2;-1)
Đường thẳng d qua M(-4; -5; 3) và có VTCP overrightarrow{AB} = (3;2;-1)
Rightarrow d: begin{cases}x=-4-3t \ y=-5+2t \z=3-tend{cases} (t in mathbb{R})

Xem thêm :  Những cách diệt gián dân gian an toàn và hiệu quả nhất

Dạng IV: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): begin{cases}x=2+4t \ y=3+2t \z=-3+tend{cases} và mặt phẳng (P): -x + y + 2z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (Delta) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là sqrt{14} .
Lời giải :
Chọn A(2;3; -3), B(6;5; -2) in (d), mà thấy rằng A, B in (P) nên (d) subset (P) .
Gọi overrightarrow{u} là VTCP của ( d_1) subset (P), qua A và vuông góc với (d) thì begin{cases}overrightarrow{u} perp overrightarrow{u_d} \ overrightarrow{u} perp overrightarrow{u_P} end{cases}
nên ta chọn overrightarrow{u} = [overrightarrow{u_d} ,overrightarrow{u_P} ] = (3;-9;6) .
Phương trình của đường thẳng ( d_1) : begin{cases}x=2+3t \ y=3-9t \z=-3+6tend{cases}
Lấy M(2+3t; 3 -9t; -3+6t) in ( d_1) . (Delta) là đường thẳng qua M và song song với (d).
Theo đề : AM=sqrt{14}Leftrightarrow sqrt{9t^2+81t^2+36t^2}=sqrt{14}\Leftrightarrow 9t^2=1Leftrightarrow t=pm frac{1}{3}
Với t= frac{1}{3}Rightarrow M(1;6;-5)\Rightarrow (Delta) :frac{x-1}{4}=frac{y-6}{2}=frac{z+5}{1}
Với t= -frac{1}{3}Rightarrow M(3;0;-1)\Rightarrow (Delta) :frac{x-3}{4}=frac{y}{2}=frac{z+1}{1}
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): begin{cases}x=2+t \ y=1-t \z=1-3tend{cases} và mặt phẳng (P): x + y -z + 1= 0 . Gọi I là giao điểm của d(P). Viết phương trình của đường thẳng Delta nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến Delta bằng 3 sqrt 2.
Lời giải :
(P) có VTPT overrightarrow{n_P}= (1;1;-1)d có VTCP overrightarrow{u}= (1;-1;-3) .
I = d cap (P)\Rightarrow I(x=2+t ; y=1-t ;z=1-3t) in (P) \Rightarrow I(1;2;4)
Delta subset (P); Delta perp d Rightarrow Delta có véc tơ chỉ phương overrightarrow{u_{Delta}}=[overrightarrow{n_P};overrightarrow{u}]=(-4;2;-2)
Gọi H là hình chiếu của I trên Delta Rightarrow H in mp(Q) qua I và vuông góc Delta
Rightarrow Phương trình (Q): -4(x -1) + 2(y - 2) -2(z - 4) = 0\Leftrightarrow -2x + y - z + 4 = 0
Gọi d_1 = (P) cap (Q)Rightarrow d_1 có VTCP overrightarrow{u_{d_1}}=[overrightarrow{n_P};overrightarrow{n_Q}] = (0;3;3) = 3(0;1;1)d_1 qua IRightarrow d_1 : begin{cases}x=1 \ y=2+t \z=4+tend{cases}
Giả sử H in d_1 Rightarrow H(1;2 + t;4 + t) Rightarrowoverrightarrow{IH} = (0;t;t)
Ta có:
IH=3sqrt 2 Leftrightarrow sqrt{2t^2}=3sqrt 2Leftrightarrow left[ {begin{matrix} t=3\t=-3 end{matrix}} right.
Với t=3Rightarrow H(1;5;7)\Rightarrow (Delta) :frac{x-1}{-2}=frac{y-5}{1}=frac{z-7}{-1}
Với t= -3Rightarrow M(1;-1;1)\Rightarrow (Delta) :frac{x-1}{-2}=frac{y+1}{1}=frac{z-1}{-1}
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *