Bất đẳng thức bunhiacopxki và một số kỹ thuật sử dụng

Bài viết bất đẳng thức bunhiacopxki gồm có: chứng minh bất đẳng thức bunhiacopxki, bất đẳng thức bunhiacopxki và ứng dụng, bất đẳng thức bunhiacopxki mở rộng và các chuyên đề bất đẳng thức bunhiacopxki…
Bất đẳng thức bunhiacopxki

Bất đẳng thức bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

Cho hai dãy số thực a_{1},a_{}2,…a_{n}b_{1},b_{}2,…b_{n} Ta có:

(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}…+b_{n}^{2})

Các hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hệ quả 1:

Nếu:

    [{a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n} = C]

Thì:

    [min(x_1^2 + ... + x_n^2) = frac{C}{{a_1^2 + ... + a_n^2}}]

Đạt được khi:

    [frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}}]

Hệ quả 2:
Nếu:

    [x_1^2 + ... + x_n^2 = {C^2}]

Thì:

    [max({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]

đạt được khi:

    [frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} ge 0]

    [min({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = - left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]

Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi:

    [frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} le 0]

Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Dạng tổng quát

+ Cho hai dãy số tùy ý displaystyle {{a}_{1}};,,{{a}_{2}};,,{{a}_{3}};,,…;,,{{a}_{n}}displaystyle {{b}_{1}};,,{{b}_{2}};,,{{b}_{3}};,,…;,,{{b}_{n}}. Khi đó ta có:

Dạng 1:

displaystyle left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} right)left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} right)ge {{left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}} right)}^{2}}

Dạng 2:

displaystyle sqrt{left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} right)left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} right)}ge left| {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}} right|

– Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: displaystyle frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}

Dạng 3:

displaystyle sqrt{left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} right)left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} right)}ge {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}}

– Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: displaystyle frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}ge 0

Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý displaystyle {{a}_{1}};,,{{a}_{2}};,,,…;,,{{a}_{n}}displaystyle {{x}_{1}};,,{{x}_{2}};,,…;,,{{x}_{n}} với displaystyle {{x}_{1}};,,{{x}_{2}};,,…;,,{{x}_{n}}>0

Khi đó ta có

displaystyle frac{a_{1}^{2}}{{{x}_{1}}}+frac{a_{2}^{2}}{{{x}_{2}}}+…+frac{a_{n}^{2}}{{{x}_{n}}}ge frac{{{left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}} right)}^{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{n}}}

– Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: displaystyle frac{{{a}_{1}}}{{{x}_{1}}}=frac{{{a}_{2}}}{{{x}_{2}}}=…=frac{{{a}_{n}}}{{{x}_{n}}}ge 0

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

Một số dạng đặc biệt

Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kỹ thuật chọn điểm rơi

Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví dụ sau:

Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn displaystyle age 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
displaystyle A={{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}

+ Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1: displaystyle A={{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}ge 2a.frac{1}{a}=2.

Sai lầm 2:

displaystyle A=frac{1}{2}left( 1+1 right)left( {{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}} right)ge frac{1}{2}{{left( a+frac{1}{a} right)}^{2}}ge frac{1}{2}.4=2

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là displaystyle 2.

+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là thì dấu đẳng thức xẩy ra tại

displaystyle a=frac{1}{a}Leftrightarrow a=1 trái với giả thiết displaystyle age 2

+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức displaystyle left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)ge {{left( text{ax}+by right)}^{2}} với dấu đẳng thức xẩy ra tại displaystyle frac{a}{x}=frac{b}{y}. Giả sử với các số displaystyle alpha ;,beta ta có

displaystyle A={{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}=frac{1}{{{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}}.left( {{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}} right).left( {{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}} right)ge frac{1}{{{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}}left( alpha a+frac{beta }{a} right)

Ta cần chọn hai số displaystyle alpha ;,,beta sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại displaystyle a=2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

displaystyle left{ begin{array}{l}a=2\frac{a}{alpha }=frac{1}{beta a}end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}alpha =4\beta =1end{array} right.

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

displaystyle begin{array}{l}A={{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}=frac{1}{17}left( {{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}} right).left( {{4}^{2}}+1 right)ge frac{1}{17}{{left( 4a+frac{1}{a} right)}^{2}}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=frac{1}{5}{{left( frac{a}{4}+frac{1}{a}+frac{15a}{4} right)}^{2}}ge frac{1}{17}{{left( 1+frac{15}{2} right)}^{2}}=frac{17}{4}end{array}

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là displaystyle frac{17}{4}. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi displaystyle a=2.

Ví dụ 1.2: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
displaystyle A=sqrt{{{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}}+sqrt{{{b}^{2}}+frac{1}{{{b}^{2}}}}

+ Sai lầm thường gặp:

displaystyle A=sqrt{{{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}}+sqrt{{{b}^{2}}+frac{1}{{{b}^{2}}}}ge sqrt{2}+sqrt{2}=2sqrt{2}

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là displaystyle 2sqrt{2}.

+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là displaystyle 2sqrt{2} thì dấu đẳng thức xẩy ra tại

displaystyle a=b=frac{1}{a}=frac{1}{b}Leftrightarrow a=b=1

Khi đó displaystyle a+b=2 trái với giả thiết displaystyle a+b=4

+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức displaystyle sqrt{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)}ge text{ax}+by với dấu đẳng thức xẩy ra tại displaystyle frac{a}{x}=frac{b}{y}ge 0. Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số displaystyle alpha ;,beta ta có

Xem thêm :  1 quả dưa chuột bao nhiêu Calo? Ăn nhiều có tốt không, mập hay giảm cân?
displaystyle begin{array}{l},,,,,left{ begin{array}{l}sqrt{{{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{{{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}}}.sqrt{left( {{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}} right).left( {{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}} right)}ge frac{1}{sqrt{{{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}}}left( alpha a+frac{beta }{a} right)\text{ }sqrt{{{b}^{2}}+frac{1}{{{b}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{{{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}}}.sqrt{left( {{b}^{2}}+frac{1}{{{b}^{2}}} right).left( {{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}} right)}ge frac{1}{sqrt{{{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}}}left( alpha b+frac{beta }{b} right)text{ }end{array} right.\Rightarrow Age frac{1}{sqrt{{{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}}}left[ alpha left( a+b right)+beta left( frac{1}{a}+frac{1}{b} right) right]end{array}

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại displaystyle a=b=2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

displaystyle a=b=2Rightarrow left{ begin{array}{l}frac{a}{alpha }=frac{1}{beta a}\frac{b}{alpha }=frac{1}{beta b}end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}alpha =4\beta =1end{array} right.

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt{{{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{17}}.sqrt{left( {{a}^{2}}+frac{1}{{{a}^{2}}} right).left( {{4}^{2}}+{{1}^{2}} right)}ge frac{1}{sqrt{17}}left( 4a+frac{1}{a} right)\sqrt{{{b}^{2}}+frac{1}{{{c}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{17}}.sqrt{left( {{b}^{2}}+frac{1}{{{b}^{2}}} right).left( {{4}^{2}}+{{1}^{2}} right)}ge frac{1}{sqrt{17}}left( 4b+frac{1}{b} right)end{array} right.

Khi đó ta được displaystyle Age frac{1}{sqrt{17}}left[ 4left( a+b right)+left( frac{1}{a}+frac{1}{b} right) right]

Để ý ta thấy displaystyle frac{1}{a}+frac{1}{b}ge frac{4}{a+b}, do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được

displaystyle begin{array}{l}Age frac{1}{sqrt{17}}left[ 4left( a+b right)+frac{4}{a+b} right]=frac{1}{sqrt{17}}left[ frac{a+b}{4}+frac{4}{a+b}+frac{15left( a+b right)}{4} right]\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ge frac{1}{sqrt{17}}left[ 2+15 right]=sqrt{17}end{array}

Dấu đẳng thức xẩy ra displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{a}{4}=frac{1}{a}\frac{b}{4}=frac{1}{b}end{array} right.Leftrightarrow a=b=2,

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là displaystyle sqrt{17}. Đẳng thức xẩy ra khi displaystyle a=b=2.

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng displaystyle {{left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}} right)}^{2}} về đại lượng displaystyle left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} right)left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} right) hoặc ngược lại. Để rõ hơn ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 2.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn displaystyle a+b+c=1. Chứng minh rằng:
displaystyle frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}ge 9

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

displaystyle frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=left( a+b+c right)left( frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c} right)ge {{left( sqrt{a}.frac{1}{sqrt{a}}+sqrt{b}.frac{1}{sqrt{b}}+sqrt{c}.frac{1}{sqrt{c}} right)}^{2}}=9

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c=frac{1}{3}.

Ví dụ 2.2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

displaystyle sqrt{frac{a+b}{a+b+c}}+sqrt{frac{b+c}{a+b+c}}+sqrt{frac{c+a}{a+b+c}}le sqrt{6}

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

displaystyle begin{array}{l}sqrt{frac{a+b}{a+b+c}}+sqrt{frac{b+c}{a+b+c}}+sqrt{frac{c+a}{a+b+c}}\text{ }le sqrt{left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} right)left( frac{a+b}{a+b+c}+frac{b+c}{a+b+c}+frac{c+a}{a+b+c} right)}=sqrt{6}end{array}

Do đó ta được

displaystyle sqrt{frac{a+b}{a+b+c}}+sqrt{frac{b+c}{a+b+c}}+sqrt{frac{c+a}{a+b+c}}le sqrt{6}

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c

Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

displaystyle sqrt{a+b-c}+sqrt{b+c-a}+sqrt{c+a-b}le sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}

Phân tích: Để ý là displaystyle a+b-c+b+c-a=2b. Do đó ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng

displaystyle {{left( x+y right)}^{2}}le 2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right), ta được displaystyle {{left( sqrt{a+b-c}+sqrt{b+c-a} right)}^{2}}le 2left( a+b-c+b+c-a right)=4b

Do đó ta được

displaystyle sqrt{a+b-c}+sqrt{b+c-a}le 2sqrt{b}, tương tự ta có displaystyle sqrt{b+c-a}+sqrt{c+a-b}le 2sqrt{c};,,sqrt{c+a-b}+sqrt{a+b-c}le 2sqrt{a}

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

displaystyle sqrt{a+b-c}+sqrt{b+c-a}+sqrt{c+a-b}le sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại displaystyle a=b=c.

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.

Ví dụ 3.1: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
displaystyle frac{{{a}^{2}}}{b+c}+frac{{{b}^{2}}}{c+a}+frac{{{c}^{2}}}{a+b}ge frac{a+b+c}{2}

Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

displaystyle frac{{{a}^{2}}}{b+c}+frac{{{b}^{2}}}{c+a}+frac{{{c}^{2}}}{a+b}ge frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{left( a+b right)+left( c+a right)+left( a+b right)}=frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{2left( a+b+c right)}=frac{a+b+c}{2}

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c

Ví dụ 3.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
displaystyle frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2ca}+frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2ab}ge 1

Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

displaystyle frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2ca}+frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2ab}ge frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2left( ab+bc+ac right)}=1

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c

Nhận xét: Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi displaystyle frac{1}{a},,frac{1}{b},,frac{1}{c} thì ta thu được bất đẳng thức

Xem thêm :  Top 10 icon mặt cười khóc đang hot trên facebook hiện nay

displaystyle frac{bc}{bc+2{{a}^{2}}}+frac{ca}{ca+2{{b}^{2}}}+frac{ca}{ca+2{{b}^{2}}}ge 1

Để ý ta lại thấy displaystyle frac{bc}{bc+2{{a}^{2}}}=1-frac{2{{a}^{2}}}{bc+2{{a}^{2}}}, khi đó ta được bất đẳng thức

displaystyle frac{{{a}^{2}}}{bc+2{{a}^{2}}}+frac{{{b}^{2}}}{ca+2{{b}^{2}}}+frac{{{c}^{2}}}{ca+2{{b}^{2}}}le 1

Ví dụ 3.3: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
displaystyle frac{a}{2b+c}+frac{b}{2c+a}+frac{c}{2a+b}ge 1

Phân tích: Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế mà áp dụng thì không được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp.

Để ý là

displaystyle frac{a}{2b+c}+frac{b}{2c+a}+frac{c}{2a+b}=frac{{{a}^{2}}}{aleft( 2b+c right)}+frac{{{b}^{2}}}{bleft( 2c+a right)}+frac{{{c}^{2}}}{cleft( 2a+b right)} .

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

displaystyle frac{a}{2b+c}+frac{b}{2c+a}+frac{c}{2a+b}=frac{{{a}^{2}}}{aleft( 2b+c right)}+frac{{{b}^{2}}}{bleft( 2c+a right)}+frac{{{c}^{2}}}{cleft( 2a+b right)}ge frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{3left( ab+bc+ca right)}

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được displaystyle {{left( a+b+c right)}^{2}}ge 3left( ab+bc+ca right)

Tuy nhiên đánh giá trên ta một đánh giá đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi khi và chỉ khi displaystyle a=b=c

Ví dụ 3.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
displaystyle frac{{{a}^{3}}}{a+2b}+frac{{{b}^{3}}}{b+2c}+frac{{{c}^{3}}}{c+2a}ge frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

displaystyle frac{{{a}^{3}}}{a+2b}+frac{{{b}^{3}}}{b+2c}+frac{{{c}^{3}}}{c+2a}ge frac{{{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)}^{2}}}{{{left( a+b+c right)}^{2}}}

Ta lại có displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ge frac{1}{3}{{left( a+b+c right)}^{2}}

Do đó ta được displaystyle frac{{{a}^{3}}}{a+2b}+frac{{{b}^{3}}}{b+2c}+frac{{{c}^{3}}}{c+2a}ge frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c

Kỹ thuật thêm bớt

Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các ví dụ sau để minh họa cho điều đó.

Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn displaystyle ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng:
frac{1}{{{a}^{2}}+2}+frac{1}{{{b}^{2}}+2}+frac{1}{{{c}^{2}}+2}le 1

Phân tích: Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức

frac{1}{{{a}^{2}}+2}+frac{1}{{{b}^{2}}+2}+frac{1}{{{c}^{2}}+2}le frac{1}{9}left( frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}+6 right)

Để hoàn thành phép chứng minh ta cần đánh giá được frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}le 3. Tuy nhiên để ý là đại lượng frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}} trội nhất nên không thể đánh giá về đại lượng trội hơn

Do đó ta không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính đến phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là

displaystyle frac{1}{2}-frac{1}{{{a}^{2}}+1}=frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2}

Như vậy ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau

begin{array}{l},,,,,frac{1}{{{a}^{2}}+2}+frac{1}{{{b}^{2}}+2}+frac{1}{{{c}^{2}}+2}le 1Leftrightarrow -left( frac{2}{{{a}^{2}}+2}+frac{2}{{{b}^{2}}+2}+frac{2}{{{c}^{2}}+2} right)ge -2\Leftrightarrow 1-frac{1}{{{a}^{2}}+2}+1-frac{1}{{{b}^{2}}+2}+1-frac{1}{{{c}^{2}}+2}ge 3-2Leftrightarrow frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2}+frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2}ge 1end{array}

Đến đây ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để đánh giá bất đẳng thức

frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2}+frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2}ge 1

Lời giải

Bất đẳng thức trên tương đương với

3-2left( frac{1}{{{a}^{2}}+2}+frac{1}{{{b}^{2}}+2}+frac{1}{{{c}^{2}}+2} right)ge 1

Hay frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2}+frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2}ge 1

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu kết hợp với giả thiết ta được

frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2}+frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2}ge frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+6},=,,frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2left( ab+bc+ca right)}=1

Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c=1.

Ví dụ 4.2: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
frac{ab}{{{c}^{2}}+2ab}+frac{bc}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{ca}{{{b}^{2}}+2ca}le 1

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Xem thêm :  Giày kappa có tốt không, chính hãng của nước nào sản xuất ?

frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2ab}+frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2ca}ge 1

Đến đây ta có thể áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được.

Lời giải

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

3-2left( frac{ab}{{{c}^{2}}+2ab}+frac{bc}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{ca}{{{b}^{2}}+2ca} right)ge 1

Hay frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2ab}+frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2ca}ge 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được

frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2ab}+frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2ca}ge frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2left( ab+bc+ca right)}=1

Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi displaystyle a=b=c.

Ví dụ 4.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn displaystyle frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=a+b+c. Chứng minh rằng:
displaystyle frac{1}{2+{{a}^{2}}}+frac{1}{2+{{b}^{2}}}+frac{1}{2+{{c}^{2}}}le 1x

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với displaystyle frac{{{a}^{2}}}{2+{{a}^{2}}}+frac{{{b}^{2}}}{2+{{b}^{2}}}+frac{{{c}^{2}}}{2+{{c}^{2}}}ge 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

displaystyle frac{{{a}^{2}}}{2+{{a}^{2}}}+frac{{{b}^{2}}}{2+{{b}^{2}}}+frac{{{c}^{2}}}{2+{{c}^{2}}}ge frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{6+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}

Ta cần chứng minh

displaystyle frac{{{left( a+b+c right)}^{2}}}{6+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}ge 1Leftrightarrow {{left( a+b+c right)}^{2}}ge 6+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}Leftrightarrow ab+bc+cage 3.

Từ giả thiết của bài toán ta được displaystyle abcleft( a+b+c right)=ab+bc+ca và từ đánh giá quen thuộc displaystyle {{left( ab+bc+ca right)}^{2}}ge 3abcleft( a+b+c right), suy ra ta được

displaystyle {{left( ab+bc+ca right)}^{2}}ge 3left( ab+bc+ca right)\Leftrightarrow ab+bc+acge 3.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi displaystyle a=b=c=1.

Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki

Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

displaystyle begin{array}{l}1),,,left( a;,,b;,,c right)to left( frac{1}{x};,,frac{1}{y};,,frac{1}{z} right);,,left( frac{1}{xy};,,frac{1}{yz};,,frac{1}{zx} right);,,left( frac{1}{sqrt{xy}};,,frac{1}{sqrt{yz}};,,frac{1}{sqrt{zx}} right);..\2),,left( a;,,b;,,c right)to left( yz;,,zx;,,xy right);,,,left( sqrt{yz};,,sqrt{zx};,,sqrt{xy} right);…\3),,,left( a;,,b;,,c right)to left( y+z;,,z+x;,,x+y right);,,left( y+z-x;,,z+x-y;,,x+y-z right);…end{array}

Với một số bất đẳng thức có giả thiết là ta có thể đổi biến

displaystyle begin{array}{l}1),,,left( a;,,b;,,c right)to left( frac{1}{x};,,frac{1}{y};,,frac{1}{z} right);,,left( frac{1}{sqrt{x}};,,frac{1}{sqrt{y}};,,frac{1}{sqrt{z}} right);…\2),,left( a;,,b;,,c right)to left( frac{x}{y};,,frac{y}{z};,,frac{z}{x} right);,,left( frac{b}{a};,,frac{c}{b};,,frac{a}{c} right);,,,left( sqrt{frac{x}{y}};,,sqrt{frac{y}{z}};,,sqrt{frac{z}{x}} right);…\3),,,left( a;,,b;,,c right)to left( frac{yz}{{{x}^{2}}};,,frac{zx}{{{y}^{2}}};,,frac{ab}{{{z}^{2}}} right);,,,left( frac{{{x}^{2}}}{yz};,,frac{{{y}^{2}}}{zx};,,frac{{{z}^{2}}}{xy} right);…\4),,,left( a;,,b;,,c right)to left( frac{sqrt{yz}}{x};,,frac{sqrt{zx}}{y};,,frac{sqrt{xy}}{z} right);,,left( frac{x}{sqrt{yz}};,,frac{y}{sqrt{zx}};,,frac{z}{sqrt{xy}} right);…end{array}

Ví dụ 5.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn displaystyle ab+bc+ac=3. Chứng minh rằng:

displaystyle frac{1}{2abc+a{{b}^{2}}}+frac{1}{2abc+b{{c}^{2}}}+frac{1}{2abc+c{{a}^{2}}}ge frac{a+b+c}{3}

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

displaystyle frac{ac}{2ac+ab}+frac{ab}{2ab+bc}+frac{bc}{2bc+ca}ge frac{abcleft( a+b+c right)}{3}

Để ý ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lai của các đại lương displaystyle ab;,,bc;,,ca và chú ý ta nhận thấy displaystyle abcleft( a+b+c right)=ab.bc+bc.ca+ca.ab. Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến là displaystyle x=ab;,y=bc;,z=ca.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

displaystyle frac{ac}{2ac+ab}+frac{ab}{2ab+bc}+frac{bc}{2bc+ca}ge frac{abcleft( a+b+c right)}{3}

Đặt displaystyle x=ab;,y=bc;,z=ca, khi đó ta được displaystyle x+y+z=3, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

displaystyle frac{y}{2y+z}+frac{z}{2z+x}+frac{x}{2x+y}ge frac{xy+yz+zx}{3}

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

displaystyle begin{array}{l}frac{y}{2y+z}+frac{z}{2z+x}+frac{x}{2x+y}=frac{{{y}^{2}}}{yleft( 2y+z right)}+frac{{{z}^{2}}}{zleft( 2z+x right)}+frac{{{x}^{2}}}{xleft( 2x+y right)}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ge frac{{{left( x+y+x right)}^{2}}}{2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} right)+xy+yz+zx}end{array}

Ta cần chứng minh

displaystyle frac{{{left( x+y+x right)}^{2}}}{2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} right)+xy+yz+zx}ge frac{xy+yz+zx}{3}

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

displaystyle begin{array}{l},,,,,,9{{left( x+y+x right)}^{2}}ge 3left( xy+yz+zx right)left[ 2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} right)+xy+yz+zx right]\Leftrightarrow {{left( x+y+x right)}^{4}}ge 3left( xy+yz+zx right)left[ 2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} right)+xy+yz+zx right]end{array}

Đặt displaystyle A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}};,,B=xy+yz+zx suy ra displaystyle A+2B={{left( x+y+z right)}^{2}}=9, khi đó ta cần chứng minh displaystyle {{left( A+2B right)}^{2}}ge 3Bleft( 2A+B right)\Leftrightarrow {{A}^{2}}+{{B}^{2}}ge 2AB.

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi displaystyle a=b=c=1.

Ví dụ 5.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
displaystyle frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+frac{b}{sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}+frac{c}{sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}}le frac{3}{sqrt{2}}

Phân tích: Bất đẳng thức được viết lại thành

displaystyle sqrt{frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+sqrt{frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}+sqrt{frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}}le frac{3}{sqrt{2}}

Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến phép đổi biến displaystyle x={{a}^{2}};,,y={{b}^{2}};,,z={{c}^{2}}, khi đó bất đẳng thức trở thành

displaystyle sqrt{frac{x}{x+y}}+sqrt{frac{y}{y+z}}+sqrt{frac{z}{z+x}}le frac{3}{sqrt{2}}

Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa.

Lời giải

Đặt displaystyle x={{a}^{2}};,,y={{b}^{2}};,,z={{c}^{2}}, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

displaystyle sqrt{frac{x}{x+y}}+sqrt{frac{y}{y+z}}+sqrt{frac{z}{z+x}}le frac{3}{sqrt{2}}

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

displaystyle begin{array}{l}{{left( sqrt{frac{x}{x+y}}+sqrt{frac{y}{y+z}}+sqrt{frac{z}{z+x}} right)}^{2}}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,={{left( sqrt{frac{xleft( x+z right)}{left( x+y right)left( x+z right)}}+sqrt{frac{yleft( y+x right)}{left( y+z right)left( y+x right)}}+sqrt{frac{zleft( z+y right)}{left( z+x right)left( z+y right)}} right)}^{2}}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,le 2left( x+y+z right)left( frac{x}{left( x+y right)left( x+z right)}+frac{y}{left( y+z right)left( y+x right)}+frac{z}{left( z+x right)left( z+y right)} right)\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=frac{4left( x+y+z right)left( xy+yz+zx right)}{left( x+y right)left( y+z right)left( z+x right)}end{array}

Ta cần chứng minh displaystyle frac{4left( x+y+z right)left( xy+yz+zx right)}{left( x+y right)left( y+z right)left( z+x right)}le frac{9}{2}

Hay displaystyle 8left( x+y+z right)left( xy+yz+zx right)le 9left( x+y right)left( y+z right)left( z+x right)

Hay displaystyle 8xyzle left( x+y right)left( y+z right)left( z+x right)

Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại displaystyle a=b=c.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *