Bảng tổng hợp đầy đủ nhất công thức nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm

Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ các công thức nguyên hàm, mũ, logarit giúp các bạn học sinh chuẩn bị kiến thức ôn tập thật tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng hoặc các kỳ thi giữa học kỳ, cuối học kỳ.
Bảng công thức nguyên hàm

Nguyên hàm và tính chất

Khái niệm nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của mathbb{R}.

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x in K.

Định lý 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x)int f(x)dx.

Khi đó : int f(x)dx=F(x)+C,Cin mathbb{R}.

Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1int f'(x)dx=f(x)+C,Cin mathbb{R}.
Tính chất 2int fk(x)dx=kint f(x)dx (với k là hằng số khác 0).
Tính chất 3int {left( {f(x) pm g(x)} right)dx} = int {f(x)dx} pm int {g(x)dx}.

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

int {kdx = kx + C,,k in mathbb{R}}
int {{x^alpha }dx = frac{1}{{1 + alpha }}.{x^{alpha + 1}} + C,(alpha ne - 1)}
int {frac{{dx}}{x} = ln left| x right| + C}
int {frac{{dx}}{{sqrt x }} = 2sqrt x + C}
int {{e^x}dx = {e^x} + C}
int {{a^x}dx = frac{{{a^x}}}{{ln a}} + C,,(0 < a ne 1)}
int {cos xdx = sin x + C}
int {sin xdx = - cos x + C}
int {frac{{dx}}{{{{cos }^2}x}} = tan x + C}
int {frac{{dx}}{{{{sin }^2}x}} = - cot x + C}

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác

int {{{({rm{ax}} + b)}^k}dx = frac{1}{a}frac{{{{{rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}, + C,,(a ne 0,,k ne - 1)}
int {frac{1}{{{rm{ax}} + b}}dx = frac{1}{a}ln left| {{rm{ax}} + b} right|} + C,,a ne 0
int {{e^{{rm{ax}} + b}}dx = frac{1}{a}{e^{{rm{ax}} + b}} + C}
int {c{rm{os}}({rm{ax}} + b)dx = frac{1}{a}sin ({rm{ax}} + b)} + C
int {sin ({rm{ax}} + b)dx = - frac{1}{a}c{rm{os}}({rm{ax}} + b)} + C

Các phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp đổi biến số

Định lí 1:

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số y = f({rm{u)}} liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là int {f(u)du = F(u) + C} thì int {f[u(x){rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.

Xem thêm :  Link tải file Vector Cấm hút thuốc (No Smoking) CorelDRAW miễn phí (2021) ⭐️ Wiki ADS ⭐️

Hệ quả:

Với u = ax + b,(a ne 0), ta có:

int {f(ax + b)dx} = frac{1}{a}F(ax + b) + C

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2:

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) - int {u'(x)v(x)dx}

Một số dạng thường gặp

Dạng 1int {P(x).{e^{{rm{ax}} + b}}dx,,,,int {P(x)sin ({rm{ax}} + b)dx,,\,int {P(x)c{rm{os}}({rm{ax}} + b)dx} } }
Cách giải: Đặt u = P(x),,,dv = {e^{{rm{ax}} + b}}dx, hoặc dv = sin (ax + b)dx,,,dv = cos (ax + b)dx.

Dạng 2int {P(x)ln ({rm{ax}} + b)dx}
Cách giải: Đặt u = ln ({rm{ax}} + b),,,dv = P(x)dx.

Bảng công thức nguyên hàm

Bảng công thức nguyên hàm bao gồm công thức nguyên hàm lượng giác, công thức nguyên hàm mũ, công thức nguyên hàm logarit…

Bảng công thức nguyên hàm

Bảng công thức nguyên hàm từng phần

Bảng công thức nguyên hàm từng phần và cách chọn u, dv

Bảng công thức nguyên hàm từng phần

Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép biến đổi lượng giác hóa

Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép biến đổi lượng giác hóa

Ví dụ áp dụng công thức tính nguyên hàm

Ví dụ 1:
Tìm các nguyên hàm sau:

a) I = intlimits {left( {3x + 1} right)left( {x - 2} right)} ,dx.

b) J = intlimits {left( {5{{sin }^2}x - sin x + 2} right)cos x} ,dx.

Lời giải:

a) I = intlimits {left( {3x + 1} right)left( {x - 2} right)} ,dx

I = intlimits {left( {3{x^2} - 5x - 2} right)} ,dx = {x^3} - frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.

b) J = intlimits {left( {5{{sin }^2}x - sin x + 2} right)cos x} ,dx

Đặt: t = sin x Rightarrow dt = cos xdx

Khi đó: J = intlimits {left( {5{t^2} - t + 2} right)} ,dt = frac{{5{t^3}}}{3} - frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C \= frac{5}{3}{sin ^3}x - frac{{{{sin }^2}x}}{2} + 2sin x + C.

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau:

a) I = int {{x^8}}dx

b) I=int left ( x^2+2x right )^2dx

c) I=int frac{1}{x^5}dx

d) I=intfrac{1}{2x}dx

Lời giải:

a) I = int {{x^8}dx = frac{1}{9}{x^9} + C}

b) I = int {{{left( {{x^2} + 2x} right)}^2}dx = int {left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} right)dx = frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + frac{4}{3}{x^3} + C} }

c) I = int {frac{{dx}}{{{x^5}}} = int {{x^{ - 5}}dx = frac{1}{{ - 5 + 1}}{x^{ - 5 + 1}} + C = } } - frac{1}{4}{x^{ - 4}} + C

d) I = int {frac{{dx}}{{2x}}} = frac{1}{2}int {frac{{dx}}{x} = frac{1}{2}ln left| x right| + C}

Ví dụ 3:

Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau:

a) I = int {sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}

b) I = int {{e^{{e^x} + x}}dx}

c) I = int {{e^{2{x^2} + ln {rm{x}}}}dx}

d) I = int {frac{x}{{sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx

e) I=int {frac{{sin x.{{cos }^3}x}}{{1 + {{cos }^2}x}}dx}

Lời giải:

a) Đặt: t = {x^{2004}} + 1 Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx Rightarrow {x^{2003}}dx = frac{1}{{2004}}dt.

Từ đó ta được:

I = frac{1}{{2004}}int {sqrt t dt} = frac{1}{{2004}}int {{t^{frac{1}{2}}}dt} = frac{1}{{2004}}.frac{2}{3}{t^{frac{3}{2}}} + C

= frac{1}{{3006}}sqrt {{t^3}} + C = frac{1}{{3006}}sqrt {{{left( {{x^{2004}} + 1} right)}^3}} + C

b) Ta có: {e^{{e^x} + x}} = {e^{{e^x}}}.{e^x}

Đặt: {e^x} = t Rightarrow {e^x}dx = dt

Từ đó ta được:

I = int {{e^t}dt} = int {{e^t}dt} = {e^t} + C = {e^{{e^x}}} + C

c) Ta có: M = int {{e^{2{x^2}}}.{e^{ln x}}dx = } int {{e^{2{x^2}}}.xdx}

Đặt: 2{x^2} = t Rightarrow 4xdx = dt Rightarrow xdx = frac{{dt}}{4}

Ta được: M = int {{e^t}frac{{dt}}{4} = frac{1}{4}{e^t} + C = frac{1}{4}{e^{2{x^2}}}} + C.

d) I = int {frac{x}{{sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx

Đặt: sqrt[{10}]{{x + 1}} = t Rightarrow x + 1 = {t^{10}} Rightarrow dx = 10{t^9}dt

Ta được:

begin{array}{l} N = int {frac{{{t^{10}} - 1}}{t}.10{t^9}dt} = 10int {left( {{t^{10}} - 1} right){t^8}dt} \ = 10int {left( {{t^{18}} - {t^8}} right)dt} = frac{{10}}{{19}}{t^{19}} - frac{{10}}{9}{t^9} + C end{array}

, = frac{{10}}{{19}}sqrt[{10}]{{{{left( {x + + 1} right)}^{19}}}} - frac{{10}}{9}sqrt[{10}]{{{{left( {x + 1} right)}^9}}} + C

e) Ta có:I = int {frac{{sin x.{{cos }^3}x}}{{1 + {{cos }^2}x}}dx = frac{1}{2}int {frac{{2sin xcos x.{{cos }^2}x}}{{1 + {{cos }^2}x}}} } dx = frac{1}{2}int {frac{{{{cos }^2}x}}{{1 + {{cos }^2}x}}.sin 2xdx}

Đặt: 1 + {cos ^2}x = t Rightarrow sin 2xdx = - dt

Rightarrow S = - frac{1}{2}int {frac{{t - 1}}{t}dt} = - frac{1}{2}int {dt + frac{1}{2}int {frac{{dt}}{t}} = - frac{1}{2}t + frac{1}{2}ln left| t right| + C}

Ví dụ 4:
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) I = int {x{rm{sin2}}xdx}

b) I = int {{x^2}{e^{2x}}dx}

c) I = int {left( {2{x^2} + x + 1} right){e^x}dx}

d) I = int {x{{cos }^2}2xdx}

Lời giải:

a) Đặt left{ begin{array}{l} u = x\ dv = sin 2xdx end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} du = dx\ v = - frac{1}{2}cos 2x end{array} right.

Rightarrow I = - frac{1}{2}xcos 2x + frac{1}{2}int {cos 2xdx} = - frac{1}{2}xcos 2x + frac{1}{4}sin 2x + C

b) Đặt: left{ begin{array}{l} u = {x^2}\ dv = {e^{2x}}dx end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} du = 2xdx\ v = frac{1}{2}{e^{2x}} end{array} right.Rightarrow I = frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - int {x{e^{2x}}dx} = frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - {I_1}

Tính {I_1} = int {x{e^{2x}}dx}

Đặt: left{ begin{array}{l} u = x\ dv = {e^{2x}}dx end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} du = dx\ v = frac{1}{2}{e^{2x}} end{array} right.

Rightarrow {I_1} = frac{1}{2}x{e^{2x}} - frac{1}{2}int {{e^{2x}}dx} = frac{1}{2}x{e^{2x}} - frac{1}{4}{e^{2x}} + C

Vậy: I = frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - frac{1}{2}x{e^{2x}} + frac{1}{4}{e^{2x}} + C = frac{{left( {2{x^2} - 2x + 1} right){e^{2x}}}}{4} + C

c) Đặt: left{ begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\ dv = {e^x}dx end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} du = left( {4x + 1} right)dx\ v = {e^x} end{array} right.

Rightarrow I = left( {2{x^2} + x + 1} right){e^x} - int {left( {4x + 1} right){e^x}dx}

Tính: {I_1} = int {left( {4x + 1} right){e^x}dx}

Đặt: left{ begin{array}{l} u = 4x + 1\ dv = {e^x}dx end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} du = 4dx\ v = {e^x} end{array} right.

Rightarrow {I_1} = left( {4x + 1} right){e^x} - 4int {{e^x}dx} = left( {4x + 1} right){e^x} - 4{e^x} + C = left( {4x - 3} right){e^x} + C

Rightarrow I = left( {2{x^2} + x + 1} right){e^x} - left( {4x - 3} right){e^x} + C = left( {2{x^2} - 3x + 4} right){e^x} + C

d)

begin{array}{l} I = int {x{{cos }^2}2xdx} = int {x.frac{{1 + cos 4x}}{2}} dx\ = frac{1}{2}int {xdx} + int {frac{1}{2}xcos 4xdx} = frac{1}{4}{x^2} + {I_1} end{array}

Tính {I_1} = int {frac{1}{2}xcos 4xdx}

Đặt: left{ begin{array}{l} u = frac{1}{2}x\ dv = cos 4xdx end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} du = frac{1}{2}dx\ v = frac{1}{4}sin 4x end{array} right.

Rightarrow {I_1} = frac{1}{8}xsin 4x - frac{1}{8}int {sin 4xdx} = frac{1}{8}xsin 4x + frac{1}{{32}}cos 4x + C

Vậy: I = frac{1}{4}{x^2} + frac{1}{8}xsin 4x + frac{1}{{32}}cos 4x + C

Download bảng công thức nguyên hàm pdf

Các bạn có thể tải bảng công thức nguyên hàm pdf dưới đây để in ra tiện cho việc tra cứu và học tập.

Xem thêm :  Cách giải phương trình bậc 2 đầy đủ

Trên đây là các công thức nguyên hàm, Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *